УДК 510.6:683.3:531 ББК 22 в.6

В24

Р е ц е н з е н т ы :

Доктор физико-математических наук, профессор А.Р. Абдуллаев Член-корреспондент РАН, доктор технических наук,

профессор В.П. Матвиенко

А в т о р ы :

В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер, О.Б. Наймарк, В.Ю. Столбов, П.В. Трусов, П.Г. Фрик

В24 Введение в математическое моделирование: Учеб, посо­ бие / Под ред. П.В. Трусова. - М.: Логос,2004. - 440 с.

ISBN 5-94010-272-7

Рассмотрены основные понятия, определения, положения и подходы математическогомоделирования, представленаклассификацияматематичес­ ких моделей. Описаны основные этапы, технология построения математи­ ческих моделей, приведены простые примеры ее применения. Анализиру­ ются особенности математического моделирования в условиях различных типов неопределенности, разработки моделей с применением структурно­ го и имитационного подходов. Особое внимание уделено анализу линей­ ных и нелинейных моделей, выявлению их качественных различий. При­ ведены сведения о современных разделах математики (вейвлеты, фракта­ лы, клеточные автоматы), эффективно используемых прирешенииразлич­ ных проблемнелинейнойфизики. Каждый из разделов снабжен перечнем заданий для самостоятельной работы.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направле­ нию510000 - «Естественные наукииматематика» испециальности 010200 - «Прикладная математика». Представляет интерес для специалистов в об­ ласти математического моделирования физико-механических процессов и явлений.

ББК 22в.6

Памяти наших Учителей посвящается.

Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ

...Становится ясно, что в следующем веке понадобятся не только эксперты по некоторым аспектам отдельных стадий избранных процес­ сов. Понадобятся специалисты по решению про­ блем... По-видимому, междисциплинарность бу­ дет в цене. А в институтах будут стараться учить не «предметам», а стилям мышления.

Г.Г.Малинецкий

Понятие «математическое моделирование» в последние два-три десятилетия является едва ли не самым распространенным в науч­ ной литературе, по крайней мере в естественно-научной и техни­ ческой. Сегодня трудно представить себе проектную или конструк­ торскую организацию, не использующую в своей практике в той или иной мере математические модели. Все более распространенным и эффективным становится применение математического моделиро­ вания в научных исследованиях. Интенсивно разрабатываются ма­ тематические модели в экономике, управлении, истории, биологии и многих других областях знаний. Подавляющее большинство из­ вестных авторам диссертационных работ по специальностям есте­ ственно-научных и инженерно-технических направлений связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. В последние 10—15 лет эта тенденция получает все более широкое распространение при подготовке дипломных работ выпус­ кников вузов. Математическое моделирование используется в учебно­ исследовательской работе учащихся физико-математических школ и лицеев.

Можно констатировать, что математическое моделирование в пос­ ледние десятилетия оформилось в отдельную междисциплинарную область знаний с присущими ей объектами, подходами и методами ис­ следования. В связи с этим все более актуальной становится задача це­ ленаправленной подготовки специалистов-«матмодельеров» в вузах

различного профиля, в рамках различных направлений и специаль­ ностей. Кроме того, по мнению авторов, эту подготовку, форми­ рование соответствующего «стиля мышления» можно (а возможно, и необходимо) начинать со старших классов общеобразовательной школы. Определенный положительный опыт подобной работы с учащимися специализированных физико-математических школ и классов позволяет по крайней мере не отвергать данную гипотезу.

Реализация образовательного процесса по подготовке специа- листов-«матмодельеров», естественно, требует наличия соответству­ ющего методического обеспечения. За последние годы издано не­ мало прекрасных монографий, статей, научно-популярных брошюр, пособий, часть из которых цитируется в тексте. К их числу в пер­ вую очередь следует отнести работы отечественных ученых: А.А.Са­ марского, Н.Н.Моисеева, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и многих других, трудами которых математическое моделирование и превратилось в самостоятельную область знаний. В этих работах, большей частью написанных математиками, достаточно подробно и прозрачно освещены такие вопросы, как предмет, подходы, ме­ тоды математического моделирования, приведено огромное коли­ чество ярких примеров математических моделей. Как правило, в работах этого направления основное внимание уделяется методам исследования собственно математических моделей, качественному анализу решений, новым эффектам в исследуемых процессах и явлениях.

Следует отметить, что в настоящее время в значительной час­ ти учебников и учебных пособий по различным дисциплинам вклю­ чаются некоторые понятия, методы и примеры применения мате­ матического моделирования. Здесь обычно используется некоторый набор базовых моделей данной дисциплины или смежных с ней: из этих «кубиков» в дальнейшем строится модель анализируемого процесса. При этом, как правило, базовые модели принимаются в качестве данности, не обсуждается правомерность их использова­ ния, область применимости, степень адекватности описания. «За кадром» в большинстве случаев остается и собственно процесс со­ здания математической модели, процесс перехода от «языка при­ роды» к «языку математики».

Понятно, что указанные обстоятельства обусловлены сложив­ шимися в различных областях традициями, спецификой дисцип­ лин, личными склонностями авторов. В то же время нам представ­ ляется полезным появление пособия, в котором более детально рас­

крывалась бы «кухня» разработчиков математических моделей. Не­ смотря на то, что создание любой новой модели —процесс твор­ ческий, близкий к искусству, существуют достаточно общие подхо­ ды, методы, «инструменты», пригодные для различных предметных областей. Именно этому кругу вопросов —технологии создания ма­ тематических моделей —будет уделено наибольшее внимание.

Предлагаемое пособие основано на материале специальных се­ минаров и курсов лекций по математическому моделированию, которые авторы читают студентам специальности «Прикладная ма­ тематика и информатика» (специализация «Математическое моде­ лирование»), курсов лекций по дисциплине «Концепции современ­ ного естествознания», читаемых для ряда инженерно-технических

игуманитарных специальностей Пермского государственного тех­ нического университета, а также на собственном опыте авторов в области разработки математических моделей (главным образом фи­ зико-механических процессов, что сказалось и на содержании ра­ боты). Естественно, широко использовались монографии, статьи, пособия, посвященные данной тематике.

Пособие ориентировано в первую очередь на студентов млад­ ших курсов математических и естественно-научных специальнос­ тей (главным образом —математиков-прикладников, физиков, механиков), на студентов технических специальностей (инженеровмехаников), а также на учителей и учащихся старших классов фи­ зико-математических школ. Книга может представлять интерес для аспирантов и научных сотрудников, специализирующихся в обла­ сти математического моделирования физико-механических процес­ сов и явлений. Для работы с большинством разделов пособия дос­ таточно знания вузовского курса математики (математический ана­ лиз, линейная алгебра и аналитическая геометрия, элементы теории вероятности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений

иуравнений математической физики), изучаемого обычно на млад­ ших курсах. При этом мы стремились сделать пособие «замкнутым», т.е. содержащим по возможности все необходимые понятия, опре­ деления и другие сведения.

Глава 1 является вводной, содержащей описание предмета, ос­ новные понятия и определения, связанные с моделированием в целом и в частности с математическим моделированием, класси­ фикацию моделей. Для самой юной части читателей этот материал может показаться излишним; тем не менее, для дальнейшего чте­ ния необходимо познакомиться хотя бы с основными понятиями и

определениями. Глава 2 посвящена технологии построения мате­ матических моделей и представляется нам ключевой для специа­ листов, занимающихся построением конкретных моделей. В главе 3 мы попытались на простейших примерах, доступных всем отмечен­ ным выше категориям читателей, показать эту технологию в дей­ ствии (аналогичную цель в той или иной степени преследуют и при­ меры всех остальных глав). Главы 4 и 5 содержат необходимые све­ дения из отдельных разделов математики, широко используемых при построении различных математических моделей (системного анализа, теории вероятностей, теории нечетких множеств), а так­ же качественные примеры построения моделей с применением этих знаний. В главе 6, требующей для прочтения достаточной матема­ тической подготовки, авторы попытались отразить современные тенденции моделирования, связанные в первую очередь с создани­ ем нелинейных моделей и анализом возникающих при этом каче­ ственно новых эффектов. Здесь же отражены некоторые сведения о современных методах (вейвлетах, фракталах), используемых при разработке математических моделей физико-механических процес­ сов. Глава 7 посвящена одному из широко используемых в насто­ ящее время при построении различных моделей «инструментов» — имитационному подходу.

Каждая глава снабжена набором вопросов для самопроверки и/или заданий для самостоятельной работы, выполнение которых мы считаем обязательным элементом работы с предлагаемым по­ собием. Возможно, некоторые задания покажутся читателю триви­ альными; в случае правильности этого предположения выполнение задания не займет много времени. В то же время нельзя исключать возможности, что посылка была не верна. Кроме того, большин­ ство заданий можно сделать сложными настолько, насколько это приемлемо для конкретного читателя. В любом случае, выполне­ ние заданий не приведет к отрицательному результату в усвоении содержания.

Главы 1 и 2 предназначены в основном для преподавателей, чи­ тающих курсы «Введение в математическое моделирование» и «Кон­ цепции современного естествознания», и студентов специальности «Прикладная математика и информатика». Остальные главы, по мнению авторов, полезны для всех категорий читателей, указан­ ных выше. Студенты и учащиеся старших классов найдут в них сведения о современных методах и подходах, широко применяемых при исследовании нелинейных проблем, примеры построения ма­

тематических моделей и задания для самостоятельной разработки моделей широкого спектра явлений и процессов, различного уров­ ня сложности и глубины. Учителя старших классов физико-мате­ матических школ могут использовать материал глав 3—7 при под­ готовке заданий по естественно-научным (физика, биология) и ма­ тематическим дисциплинам, а также для внеклассной (кружковой) работы. Преподаватели вузов могут воспользоваться материалом указанных глав при подготовке заданий по курсовым работам по указанным выше дисциплинам, а также в рамках курсов «Уравне­ ния математической физики», «Дифференциальные уравнения в ча­ стных производных», «Численные методы» и др.

Следует особо подчеркнуть, что приведенные примеры и зада­ ния соотносятся с математическими моделями сложных реальных процессов примерно так же, как холмы с Эверестом. Но пособие и не рассчитано на «покорителей вершин». Нам представляется це­ лесообразным начинать работу в математическом моделировании именно с простейших моделей, не отягченных математическими сложностями. Будущий специалист, избравший этот не самый лег­ кий путь, должен обладать широкими и глубокими знаниями не только во многих разделах «чистой» и «прикладной» математики и информатики, но и аналогичными познаниями в относящихся к объекту моделирования естественно-научных (физике, механике, химии и др.) и/или гуманитарных дисциплинах. Только доскональ­ ное знание объекта моделирования, соответствующей предметной области, а также возможность говорить на одном языке со специ- алистами-«заказчиками» модели позволяет надеяться на успешную реализацию того или иного проекта по созданию математической модели процесса или явления. По крайней мере, такими качества­ ми должен обладать «постановщик» задачи построения той или иной модели.

Надо сказать, что модели сложных процессов и явлений, как правило, разрабатываются коллективами научных сотрудников раз­ личных специальностей, «постановщик» обычно является руково­ дителем коллектива. Именно в подобных специалистах ощущается острый (и резко возрастающий) дефицит, а следовательно, подго­ товке специалистов данного профиля необходимо уделять повышен­ ное внимание. Возможно, хотя бы в малой степени, предлагаемое пособие будет способствовать решению этой задачи.

Авторы выражают искреннюю признательность своим студен­ там и аспирантам, вопросы и замечания которых в немалой степе­

ни способствовали становлению курса, а в итоге —появлению пред­ лагаемого пособия. Не меньшую признательность и благодарность мы выражаем рецензентам —доктору физико-математических наук, профессору А.Р.Абдуллаеву и академику РАН, доктору техничес­ ких наук, профессору В.П.Матвеенко, обсуждение с которыми за­ мечаний и предложений по содержанию пособия позволило, как нам представляется, сделать последнее более подходящим «для употребления». Авторы благодарят доцентов кафедры «Математи­ ческое моделирование систем и процессов» Н.Д.Няшину и И.Ю.Зубко, написавших соответственно параграфы 6.17 и 7.4.