2.2 Расчет на прочность при кручении

При кручении стержня сплошного круглого сечения касательные напряжения в упругой области на расстоянии ρ от центра сечения определяются формулой (рис 10.19а):

,

Условие текучести при расчете по допускаемым напряжениям:

,

т.е опасное состояние определяется появлением пластических деформаций в крайних волокнах, когда крутящий момент:

M_x=W_p×τ_Т= τ_Т×(πr³/2)

Рисунок 10.19

Однако, несмотря на то, что в крайних волокнах возникнут касательные напряжения равные пределу текучести, стержень сохранит способность воспринимать возрастающий крутящий момент до тех пор, пока касательные напряжения не достигнут предела текучести во всех точках сечения (рис 10.19б). Соответствующий предельный крутящий момент можно вычислить (рис. 10.19в):

(1)

Отношение предельного момента М_пр к моменту M_x будет:

Таков скрытый запас прочности, который обнаруживается при переходе от расчета по допускаемым напряжениям к расчету по предельному состоянию.

Пример 10.9

Вал кольцевого поперечного сечения должен иметь толщину стенки, равную 0,1 наружного диаметра. Определить, по предельному состоянию, наружный диаметр вала, если он нагружен крутящим моментом М_к=9 кНм. Вал выполнен из материала с пределом текучести τ_Т=140 МПа, и коэффициент запаса принят равным n=2.

Решение.

При расчете по предельному состоянию, опасным является состояние, при котором напряжения по всему поперечному сечению достигают предела текучести.

Выделим в пределах сечения бесконечно тонкое кольцо толщиной d с радиусом .(рис. 10.20).

Рисунок 10.20

Его площадь равна:

dF= 2d

При достижении напряжениями значения. Т, крутящий момент, созданный ими по площади кольца относительно центра вала, равен:

dM_Т= 2dτ_Т 

а при интегрировании по всему сечению:

Наибольшее безопасное значение крутящего момента при запасе прочности n:

Условие прочности принимает вид:

,

откуда можно определить наружный радиус сечения:

В нашем случае:

, следовательно:

Пример 10.10

Определить по предельному состоянию диаметр d вала сплошного круглого поперечного сечения, защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рисунке 10.21а, крутящим моментом М_кр=31,4 кНм. Материал стержня пластичный с пределом текучести τ_Т=140 МПа.

Рисунок 10.21

Решение.

В предельном состоянии во всех сечениях вала будут действовать касательные напряжения равные пределу текучести τ_Т. В этом случае М_А=М_В=М_кр/2 является предельным значением крутящего момента. Эпюра крутящих моментов будет иметь вид, приведенный на рисунке 10.21б.

Предельное значение момента можно определить из соотношения (1):

,

Откуда необходимый диаметр сечения вала:

2.3 Расчет на прочность при изгибе

При изгибе балки нормальные напряжения σ по высоте сечения распределены по линейному закону (рис.10.22) и на расстоянии y от нейтральной оси определяются формулой:

,

где I- момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Рисунок 10.22

Максимальные напряжения возникают в крайних волокнах (рис. 10.22а):

,

где W- момент сопротивления при изгибе.

Условие текучести:

,

откуда опасная величина изгибающего момента при расчете по допускаемым напряжениям будет равна:

М_Т= σ_ТW

При достижении этого момента балка способна воспринимать возрастающий изгибающий момент до тех пор, пока текучесть не распространиться по всему поперечному сечению, после чего дальнейшая деформация балки будет происходить без увеличения изгибающего момента (рис. 10.22б). В рассматриваемом поперечном сечении образуется так называемый пластический шарнир, который передает изгибающий момент, равный предельному изгибающему моменту, определяемому для сечения симметричного относительно нейтральной оси, по формуле:

,

где S_max- статический момент площади половины поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Величину 2S_max принято называть пластическим моментом сопротивления и обозначать W_пл. Тогда

М_пр= σ_ТW_пл

Степень увеличения запаса прочности балки при расчете по предельному состоянию по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям будет равна:

Пример 10.11

Балка пролетом a=2 м таврового сечения (рис. 10.23) свободно лежит на двух опорах и нагружена силой P посередине пролета. Определить по предельному состоянию грузоподъемность балки, если предел текучести материала на сжатие и растяжение равны σ_Т=240 МПа, а коэффициент запаса принят n=1,6.

Рисунок 10.23

Решение.

Величина предельного изгибающего момента М_пр равна:

М_пр=2Sσ_Т, где

S- статический момент полусечения относительно нейтральной оси;

σ_Т- предел текучести материала.

Допускаемый изгибающий момент [M]:

Так как при пластическом шарнире, в случае равных пределов текучести на растяжение и сжатии, нейтральная ось делит площадь сечения пополам, то y₀ определим из условия равенства площадей сечения над нейтральной осью и под ней:

150×y₀=150×25+(50- y₀)×150, откуда

y₀=37,5 мм

Статический момент нижней части полусечения:

S=150×37,5×(37,5/2)×10^-9=0,10546875×10^-3 м³

Следовательно, предельный изгибающий момент равен:

М_пр=2×0,10546875×10^-3×240×10⁶=50,625 кНм

Допускаемый изгибающий момент [M]:

Так как, для шарнирно-опертой по краям балки максимальный момент возникает в середине пролета и равен:

M=P×a/2, то

допускаемое усилие [P]:

Пример 10.12

Для стальной балки, показанной на рисунке 10.24а, подобрать по предельному состоянию прямоугольное сечение при отношении высоты к ширине h/c=1,5; q=50 кН/м; [σ]=750 мПа; σ_Т=1150 мПа; а=3 м.

Рисунок 10.24

Решение.

Балка один раз статически неопределима, поэтому вначале раскроем статическю неопределимость. Построим соответсвующие основную систему (рис.10.24б) и эквивалентную ситему (рис. 10.24в).

Неизвестное усилие X определим из канонического уравнения:

a_1q+a₁₁×X=0

С целью определения коэффициентов уравнения построим эпюры для двух случаев нагружения. Вначале к основной системе приложим внешнюю нагрузку (рис. 10.25а) и построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.25б), затем приложим единичное усилие (рис. 10.25г) и также построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.25д).

Рисунок 10.25

Перемножением эпюр по правилу Верещагина определим коэффициены канонического уравнения.

Поставим в каноническое уравнение, получим:

, откуда

X=1/16 qa

Умножим эпюру М₁ на X и сложим с эпюрой M_q, получим суммарную эпюру изгибающих моментов M_Σ (рис 10.26).

Рисунок 10.26

При расчете по допускаемым напряжениям условие прочности имеет вид:

Из рассмотрения эпюры видно, что:

M_max=7qa²/32

Определим момент сопротивления прямоугольного сечения с соотношением сторон h/c=1,5:

(1)

Подставим в условие прочности, получим:

Из полученного соотношения определим требуемый размер с:

При расчете по предельному состоянию в сечении А, в котором возникает максимальный изгибающий момент, врежем пластический шарнир с пределным изгибающим моментом М_пр (рис 10.27а).

Рисунок 10.27

Величину предельного изгибающего момента М_пр определим из соотношения:

М_пр=2Sσ_Т, где

S- статический момент полусечения относительно нейтральной оси;

σ_Т- предел текучести материала.

Определим статический момент половины прямоугольного сечения с отношением сторон h/c=1,5:

Подставим, получим:

(2)

Освободимся от опор и их действие заменим реакциями (рис. 10.27б). Для полученной системы сил запишем уравнения равновесия.

Решая полученную систему уравнений, определим реакции опор.

Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.27в) и определим значение максимального изгибающего момента M_max:

(3)

Запишем условие прочности:

Подставим в условие прочности выражения 1, 2 и 3, получим соотношение:

Из полученного соотношения определим требуемый размер с: