2 Метод сил. Канонические уравнения

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от избыточных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.

Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания избыточных связей. Система, освобожденная от избыточных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Однако следует помнить, что отбрасывание избыточных связей надо производить таким образом, чтобы оставшиеся связи обеспечивали кинематическую неизменяемость системы, с одной стороны, и статическую определимость во всех узлах, - с другой.

После того как дополнительные связи отброшены, и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X_i где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X_i являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу по направлению силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой от разреза частям системы. Основная система с приложенной внешней нагрузкой и неизвестными силовыми факторами носит название эквивалентной системы. Очевидно, в статически определимой эквивалентной системе напряжения и перемещения сечений такие же, как и в заданной статически неопределимой системе. Теперь остается составить уравнения совместимости перемещений для определения неизвестных силовых факторов.

2.1. Внешне статически неопределимые рамы

Проследим последовательность составления уравнений совместимости перемещений методом сил на примере плоской внешне статически неопределимой рамы (рис. 8.3).

Рисунок 8.3

Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 6= -3

Следовательно, заданная рама внешне трижды статически неопределима.

Построим основную систему (рис. 8.4) путем удаления внешней нагрузки и избыточных опорных связей, например, одну в катке и две в правой шарнирной опоре.

Рисунок 8.4

Построим эквивалентную систему (рис. 8.5) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X₁, X₂, X₃, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделках.

Рисунок 8.5

Величины неизвестных усилий X₁, X₂, X₃ найдем из условия равенства нулю перемещений освобожденных опорных сечений по направлению удаленных связей δ₁., δ₂, δ₃. Эти перемещения вызываются в эквивалентной системе совместным действием заданной нагрузки и самих усилий X₁, X₂, X₃, т.е.:

δ₁(M, X₁, X₂, X₃) =0;

δ₂(M, X₁, X₂, X₃) =0; (1)

δ₃(M, X₁, X₂, X₃) =0.

В приведенных выражениях индексы 1, 2, 3 показывают, что рассматриваются перемещения опорных сечений по направлению X₁, X₂, X₃ соответственно от совместного действия нагрузок M, X₁, X₂, X₃.

Согласно принципу независимости действия сил перемещение сечения от одновременного воздействия группы нагрузок равно сумме перемещений от каждой из нагрузок в отдельности.

Поэтому любое из уравнений (1) можно представить в виде:

δ_i(M, X₁, X₂, X₃) = δ_iM + δ_iX1 + δ_iX2 + δ_iX3 = =0 (2)

где - перемещение в направление усилия X_i от действия усилия X_k.

Но перемещение от усилия X_k пропорционально величине этого усилия, поэтому:

где - перемещение в направление усилия X_i от единичного усилия, приложенного в направлении усилия X_k.

Итак, уравнения совместимости деформаций (2) запишутся в виде:

, или в развернутом виде:

δ_1M + δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ₁₃X₃ = 0

δ_2M + δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ₂₃X₃ = 0 (3)

δ_3M + δ₃₁X₁ + δ₃₂X₂ + δ₃₃X₃ = 0

Равенства представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных усилий X₁, X₂, X₃ и называются каноническими уравнениями метода сил. Коэффициенты вида δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃…… δ_ii – называются основными коэффициентами, а δ₁₂, δ₁₃, δ₂₁, δ₂₃, δ₃₁, δ₃₂………. δ_ik – побочными.

Уравнения (3) выведены на примере рамы, у которой избыточными были внешние (опорные) связи, т.е. внешне статически неопределимой рамы.