- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.
1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяющий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы. Шарнир, связывающий n (три и более) частей системы, играет роль n-1 простых шарниров и поэтому снижает степень статической неопределимости на n-1 единиц.
2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.
В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой.
Геометрически неизменяемой называется система, перемещения точек которой возможны лишь как следствие деформаций системы. Нельзя выбирать в качестве основной мгновенно геометрически изменяемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными. При выборе основной системы для симметричных стержневых систем применяют свойства симметрично и кососимметрично нагруженных систем.
3. Строят соответствующую выбранной основной эквивалентную систему, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении прикладывают силы Хi, если связи препятствовали линейному перемещению, и пары Хк, если они исключали повороты сечений.
4. Составляют канонические уравнения метода сил:
δ1P + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 +……. δ1nXn= 0
δ2P + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 +……. δ2nXn = 0
…………………………………………….
δnP + δn1X1 + δn2X2 + δn3X3 +…… δnnXn = 0
Число уравнений равно числу искомых неизвестных.
5. Вычисляют коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле Мора:
,
или перемножением эпюр по способу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо X1, Х2, ..., Хn. Индексы у коэффициента δik указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов, которые надо подставить в интеграл Мора.
6. Решают систему канонических уравнений и определяют величины искомых силовых факторов X1, Х2, Х3, ..., Хn.
7. Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов в сечениях эквивалентной системы путем алгебраического суммирования значений от каждой из нагрузок в отдельности:
Ф = ФP + Ф1X1 + Ф2 Х2……….Фn Xn
где Ф - искомый силовой фактор (изгибающий или крутящий момент, нормальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении);
ФP - аналогичный силовой фактор от одной только внешней нагрузки;
Фi - аналогичный силовой фактор от единичного усилия, приложенного вместо Хi.
Таким образом, при построении суммарных эпюр силовых факторов (изгибающих и крутящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммированием ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в Xi раз.
8. Так как сечения заданной системы в опорах не перемещаются, то произведение суммарной эпюры на любую единичную эпюру должно быть равно нулю. На этом свойстве основывается проверка правильности вычисления неизвестных Xi при раскрытии статической неопределимости и построении суммарных эпюр. Следовательно, поскольку абсолютные или относительные перемещения сечений в направлении усилий Xi отсутствуют, то произведение каждой из единичной эпюр на суммарную должно быть равно нулю.
Рассмотрим примеры раскрытия статической неопределимости плоских рам.
Пример 8.1
Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.14.
Рисунок 8.14
Решение.
1. Число внешних степеней свободы:
n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 5= -2
Следовательно, заданная рама внешне дважды статически неопределима.
2. Построим основную систему (рис. 8.15) путем удаления внешней нагрузки и двух избыточных опорных связей в правой шарнирной опоре.
Рисунок 8.15
3. Построим эквивалентную систему (рис. 8.16) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X1, X2, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделке. На схеме пронумеруем характерные сечения.
Рисунок 8.16
4. Запишем два канонических уравнения, для определения неизвестных усилий X1, X2:
δ1P + δ11X1 + δ12X2 = 0
δ2P + δ21X1 + δ22X2 = 0
5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δik ,δiP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий, поочередно приложенных к опорному сечению 1 и направленных по направлению неизвестных усилий X1, X2.
а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.17а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.17б).
Рисунок 8.17
б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X1 (рис. 8.18а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.18б).
Рисунок 8.18
в) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X2 (рис. 8.19а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.19б).
Рисунок 8.19
6. Так как эпюры от единичных усилий линейные зависимости, то коэффициенты канонических уравнений вычислим способом Верещагина. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим:
7. Система канонических уравнений принимает вид:
3X1 – 2X2 +(1/6)qa = 0
-2X1 + (32/3)X2 –(7/24)qa = 0,
откуда X2 ≈ 0,02qa, X1 ≈= -0,13qa
8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок MP (рис. 8.17б), изгибающего момента M1 (рис. 8.18б), увеличенного в X1 раз, и изгибающего момента M2 (рис. 8.19б), увеличенного в X2 раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен:
M1 = 0,
M2 = 1a × (-0,13)qa = -0,13qa2,
M3 = -(1/2)qa2 + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = -0,65qa2
M3 = (1/2)qa2 + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = 0,35qa2
M4 = 1a×(-0,13)qa – 2a×0,02qa = -0,17qa2
M5 = -1a×(-0,13)qa – 2a×(0,02)qa = 0,09qa2
M6 = - qa2 = -qa2
9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20).
Рисунок 8.20
Пример 8.2
Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.21.
Рисунок 8.21
Решение.
1. Число внешних степеней свободы:
n = 3d – 2s – c0 = 3×0 - 2×0 - 3= -3
Следовательно, заданная рама внутренне три раза статически неопределима, но условия косой симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного.
2. Разрежем раму по оси симметрии. Полученная основная система приведена на рисунке 8.22.
Рисунок 8.22
3. В сечении действует только один кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), так как внешняя нагрузка кососимметрична. Построим эквивалентную систему (рис.8.23) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестного усилия X, которым заменяют действие удаленной связи, препятствующей взаимному линейному перемещению сечений рамы.
Рисунок 8.23
4. Запишем каноническое уравнение, для определения неизвестного усилия X:
δ1P + δ11X = 0
5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δik ,δiP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий.
а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.24а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.24б).
Рисунок 8.24
б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X1 (рис. 8.25а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.25б).
Рисунок 8.25
6. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим:
7. Каноническое уравнение принимает вид:
9,78X - (11/3)qa = 0, откуда
X = 0,37qa
8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок MP (рис. 8.24б) и изгибающего момента M1 (рис. 8.25б), увеличенного в X раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен:
M1 = 0,
M2 = -1a × 0,37qa = -0,37qa2,
M3 = 2qa2 – 1a×0,37qa = 1,63qa2
M4 = -2qa2
9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.26).
Рисунок 8.26