- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
При изгибе балки тонкостенного несимметричного сечения изгиб может сопровождаться кручением. Так, рассматривая, консольный изгиб цилиндрического стержня (рис.3.76а), можно сказать, что стержень не будет закручиваться. Тонкостенные стержни с профилем в виде уголка (рис. 3.76б) и швеллера (рис. 3.76в) закручиваются, так как в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом возникает крутящий момент.
Рисунок 3.76
Точка плоскости сечения, через которую должна проходить плоскость действия внешней нагрузки, чтобы поперечный изгиб не сопровождался кручением, называется центром изгиба, или центром жесткости сечения. Геометрическое место центров изгибов сечений называют линией жесткости балки.
Очевидно, что относительно центра изгиба крутящий момент создаваемый касательными напряжениями должен равняться нулю (рис. 3.77).Следовательно, условие для определения положения центра изгиба для общего случая несимметричного тонкостенного профиля (рис. 3.77) можно записать:
(1)
Рисунок 3.77
Произведение r ds представляет собой дифференциал секторальной площади dω, поэтому:
Подставим выражение для определения касательного напряжения τ, для случая, когда направление поперечной силы Q не совпадает с главной центральной осью сечения, , тогда получим:
(2)
Возьмем по частям первый из полученных интегралов:
Как известно, статический момент отсеченной части сечения равен:
(3)
Следовательно, в точке s1 статический момент равен нулю, так как в точке s1 отсеченная площадь сечения равна нулю. Статический момент в точке s2 также равен нулю, так как ось z является главной центральной осью. Поэтому .
Продифференцируем выражение (3), получим:
В результате рассматриваемый интеграл принимает вид:
Аналогично преобразуем второй интеграл, входящий в выражение (2), в итоге получим:
(4)
Очевидно, что выражение (4) выполняется только в том случае, если выполняются два условия:
(5)
Таким образом, сектор секторально линейные моменты относительно главных центральных осей и центра изгиба равны нулю. Начало отсчета 0(z0, y0) вычисления секторальной площади ω не играет роли, так как при изменении секторальная площадь изменяется на постоянную величину, что не сказывается на условиях (5).
Практически положение центра изгиба определяется следующим образом. Вычисляем секторальные площади ωP относительно произвольного полюса P (рис. 3.77). Примем, что разности координат между центром изгиба и принятым полюсом zци и yци. Секторальные площади ω и ωP связаны соотношением:
ω =ωP–yци (z-z0)+zци (y-y0)
Подставим первое выражение условий (5):
(6)
Учитывая, что оси y и z – главные и центральные, тогда:
Следовательно, выражение (6) принимает вид:
Аналогичным образом преобразуем втрое выражение условий (5), получим:
В итоге положение центра изгиба определяется соотношениями:
,
Отрезки zци и yци откладываем в направлении главных осей от полюса P (рис. 3.77).
Очевидно, для тонкостенных сечений с двумя осями симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения и совпадает с точкой пересечения осей симметрии. При наличии одной оси симметрии центр изгиба находится на этой оси.
Для сплошных сечений центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. Это вызвано тем, что при поперечном изгибе балки сплошного сечения касательные напряжения параллельны главной центральной оси совпадающей с плоскостью действия нагрузки и распределены по ширине сечения равномерно.
Пример 3.11
Определить положение центра изгиба для прямоугольного тонкостенного профиля, имеющего разрез в левом нижнем углу (рис. 3.78а). Толщина стенки профиля δ.
Рисунок 3.78
Решение.
1. Главные центральные оси z и y совпадают с осями симметрии сечения.
2. Осевые моменты инерции сечения:
3. Чтобы упростить вычисление секторальных площадей поместим полюс P и начало отсчета в верхнем правом углу сечения (рис. 3.78б). Определим секторальные площади ωP, а также y и z:
ωP 0-1=0, y=a, z=
ωP 1-2= , y= , z=
ωP 0-3=0, y= , z=
ωP 3-2= , y=-a, z=
Построим эпюры ωP (рис. 3.78в), z (рис. 3.78г), y (рис.3.78д).
4 Вычислим интегралы и , получим:
5. Определим положение центра изгиба:
,
Рассмотрим другой способ определения центра изгиба. Условие для определения положения центра изгиба сечения также можно записать:
(7)
Это условие означает, что необходимо определить такую точку на плоскости, относительно которой крутящий момент, создаваемый касательными напряжениями, будет равен нулю.
Последовательность определения центра изгиба поперечного сечения в этом случае проследим на примере сечения в форме тонкостенного профиля, приведенного на рис. 3.75а. Главная ось zc очевидно совпадает с осью симметрии сечения. Следовательно, центр изгиба лежит на оси симметрии. Пусть центр изгиба находится на расстоянии e от вертикальной стенки профиля. На участках профиля заменим касательные напряжения их равнодействующими T (рис. 3.79). Так как сечение симметрично относительно оси zc, в дальнейшем будем рассматривать только верхнюю часть сечения.
Рисунок 3.79
Условие (7), которое означает равенство нулю крутящего момента относительно центра изгиба, принимает вид:
T1-2×(2a+e) sin45º- T2-3×a + T3-4×e = 0, откуда
(8)
Для определения равнодействующих T используем распределение касательных напряжений по поперечному сечению, которое получено в решении примера 3.10 и представлено на эпюре (рис. 3.75г).
Запишем выражения равнодействующих касательных напряжений T:
Координата центра изгиба:
Пример 3.12
Определить положение центра изгиба e при поперечном изгибе балки с сечением тонкостенного полукольца (рис. 3.80а).
Рисунок 3.80
Решение.
1. Момент инерции сечения (рис. 3.80а):
2. Статический момент отсеченной части (рис 3.80б):
3. Касательные напряжения:
4. Момент касательных напряжений относительно центра изгиба (рис. 3.80б) приравняем нулю:
После преобразований, получим уравнение:
, откуда
Пример 3.13
Определить положение центра изгиба e при поперечном изгибе балки с сечением тонкостенного швеллера (рис. 3.81а).
Рисунок 3.81
Решение.
Представим сечение осевыми линиями (рис. 3.81б). Главная ось zc очевидно совпадает с осью симметрии сечения. Следовательно, центр изгиба лежит на оси симметрии. Пусть центр изгиба находится на расстоянии e от вертикальной стенки профиля.
1. На участках профиля заменим касательные напряжения их равнодействующими T (рис. 3.81б). Так как сечение симметрично относительно оси zc, в дальнейшем будем рассматривать только верхнюю часть сечения. Условие равенства нулю крутящего момента относительно центра изгиба, принимает вид:
T2-3 ×e - T1-2 ×a =0, откуда
(1)
2. Для определения равнодействующих T вычислим распределение касательных напряжений τ при действии перерезывающей силы Qy. Касательные напряжения вычислим по формуле:
3. Главный центральный момент инерции сечения Iz (рис. 3.81а):
4. Обозначим потоки касательных усилий на каждом из прямолинейных участков (рис. 3.81б). Направление потока выбираем таким образом, чтобы их направление их суммы совпадало с направлением перерезывающей силы. Пронумеруем характерные точки сечения, в которых происходит перелом средней линии. В пределах каждого из участков введем местную координату t, которой обозначим расстояние от начала участка до текущей точки сечения (рис. 3.81б). В силу симметрии сечения, рассматриваем только верхнюю часть сечения. Запишем выражения статического момента S на участках средней линии сечения и вычислим значения в характерных точках:
5. Запишем выражения τ на участках средней линии и вычислим значения τ в граничных точках:
6. Вычислим равнодействующие T:
7. Подставим в соотношение (1), получим: