6.3. Перемещения сечений плоской рамы

В сечениях плоской рамы возникает только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающий момент M_z, перерезывающая сила Q_y и нормальная сила N. Следовательно, для плоской рамы из шести слагаемых в интеграле Мора (4) сохраняются только три слагаемых. Если же учесть, что основную роль в рамах играют изгибные перемещения, в этой формуле можно удержать, лишь одно слагаемое. Поэтому интеграл Мора для плоских рам принимает такой же вид, как и для балок:

(6)

Пример 7.4

Определить горизонтальное смещение δ_A точки A и угол поворота φ_B сечения B плоской рамы приведенной на рисунке 7.34. Жесткость на изгиб EI_z считать заданной и постоянной на всех участках рамы.

Рисунок 7.34

Решение.

1. Строим эпюры крутящих и изгибающих моментов от заданных нагрузок. Эти эпюры были построены ранее при решении примера 7.2. Воспользуемся полученными ранее эпюрами (рис. 7.35) и аналитическими выражениями.

Рисунок 7.35

M_1-2(φ) = 1,5qaasinφ

M_2-3(x) = 0,5qax – (1/2)qx²

2. Для определения перемещения δ_A приложим единичное усилие в сечении A в направлении искомого перемещения δ_A (рис. 7.36).

Рисунок 7.36

а) Определим реакции опор из уравнений равновесия:

ΣX= 1 + X₃ = 0

ΣY= Y₁ + Y₃ = 0

Σmom₁ = Y₃×2a + 1×2a = 0, откуда

X₃ =0, Y₃ = -1, Y₁ = 1

б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков:

M′_1-2(φ) = 1×a sinφ + 1×a(1+cosφ)=a(1+cosφ+sinφ)

M′_2-3(x) = 1×x

в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.37).

Рисунок 7.37

г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора:

3. Для определения угла поворота φ_B приложим единичный момент в сечении B (рис. 7.38).

Рисунок 7.38

а) Определим реакции опор из уравнений равновесия:

ΣY= Y₁ + Y₃ = 0

Σmom₁ = Y₃×2a - 1 = 0, откуда

Y₃ = 1/2a, Y₁ = -1/2a

б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков.

M′_1-2(φ) = -(1/2a) a sinφ = -(1/2)×sinφ

M′_2-3(x) = -1+(1/2a) ×x

в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.39):

Рисунок 7.39

г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора:

6.4 Перемещения узлов фермы

Для ферм в интеграле Мора следует удержать только одно слагаемое, содержащее нормальные силы N в сечениях стержней от заданных нагрузок и нормальные силы N’ от единичной нагрузки. Учитывая, что по длине каждого стержня нормальные силы постоянны, формулу для определения перемещений узлов фермы можно записать так:

Пример 7.5

Определить вертикальное смещение δ_A точки A фермы приведенной на рисунке 7.40. Жесткость EF считать заданной и постоянной для всех стержней фермы.

Рисунок 7.40

Решение.

1. Для приведенной фермы усилия N в стержнях от внешней нагрузки определены в разделе 7.4:

N₁=250 кг, N₂=-1250 кг, N₃=-500 кг, N₄=250 кг, N₅=1875 кг,

N₆=-2625 кг, N₇=1375 кг, N₈=1875 кг, N₉=-3750 кг, N₁₀=-1500 кг

2. Приложим единичное усилие в вертикальном направлении к узлу A (рис. 7.41) и определим «методом выделения узлов» усилия в стержнях рамы N’:

Рисунок 7.41

N₁=N₂=N₃=N₄=N₅=N₆=N₇=0,

N₈=√2, N₉=-√2, N₁₀=-1

3. Определим перемещение узла A: