2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы

Рассмотрим статически неопределенную систему, стержни которой выполнены из одного и того же материала. Определим температурные усилия, возникающие в результате нагрева одного из стержней системы, причем температура распределена равномерно, как по длине стержня, так и по его поперечному сечению. Для определения температурных усилий, возникающих в статически неопределимой стержневой системе, также как в случае действия внешней нагрузки, в случае нагрева дополнительно к уравнениям равновесия составляют уравнения совместимости перемещений. При составлении уравнения совместимости исходим из того, что при совместном действии на стержень усилий и температуры удлинения стержня определяется как сумма силового и температурного перемещений:

l=N l/E F+ T l, где

l – удлинение стержня;

N – нормальная сила;

l – длина стержня;

E – модуль упругости;

F – площадь поперечного сечения;

 - коэффициент линейного расширения материала;

T – температура.

Рассмотрим на примере принцип раскрытия статической неопределимости стержневой системы, один из стержней которой нагрет.

Пример 2.5

Для системы (рис.2.25) заданы: линейный размер a, температура стержня AD - T, площади поперечных сечений стержней AB, AC и DE равными F, а площадь поперечного сечения стержня AD равной 2F. Модуль упругости материала стержней равен E.

Рисунок 2.25

Решение.

1. Отбрасываем опоры, заменяем их действие нормальными усилиями (рис. 2.26).

Рисунок 2.26

Составляем уравнения равновесия:

 x=N₄+N₁ cos45+N2 cos45=0 (1)

 y=N₁ sin45–N₂ sin45=0 (2)

2. Вырезаем узел D, заменяем действие отброшенных частей нормальными усилиями (рис. 2.27):

Рисунок 2.27

Составляем уравнение равновесия:

 x=N₄-N₃=0 (3)

3. Получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Следовательно, система один раз статически неопределима. Для составления недостающего уравнения совместимости перемещений рассмотрим деформированное состояние системы (рис. 2.28):

Рисунок 2.28

В силу малости перемещений предполагаем, что угол между осью стержня 1 и осью стержня 3 не изменяется. Из прямоугольного треугольника можно записать следующее уравнение совместимости перемещений:

l₁=(l₃-l₄) cos45, или

l₁=(l₃-l₄)/2

По закону Гука удлинения стержней имеет вид:

l₁=N₁a2/EF

l₃=N₃ 2a/2EF+ T 2a

l₄=N₄ a/EF

Уравнение совместимости перемещений примет вид:

N₁-N₃+N₄=2 T EF (4)

Таким образом, получили систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

2N₄+N₁+N₂=0

N₁–N₂=0

N₄-N₃=0

N₁-N₃+N₄=2 T EF

Решая совместно уравнения, получаем неизвестные усилия N:

N₁=N₂=2 T EF

N₃=N₄=-22 T EF

Пример 2.6

Для системы (рис.2.29а) заданы: линейный размер a, площади поперечных сечений стержней AB, AC и DE равными F, а площадь поперечного сечения стержня AD равной 2F. Модуль упругости материала стержней равен E. Необходимо вычислить усилия в стержнях при нагревании системы T.

Рисунок 2.29

Решение.

1. Отбрасываем опоры, заменяем их действие нормальными усилиями (рис. 2.29б).

Составляем уравнения равновесия:

 x=N₃+N₂ sin α=0 (1)

 y=N₁ +N₂ cos α=0 (2)

tg α=1/2

2. Получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система один раз статически неопределима. Для составления недостающего уравнения совместимости перемещений рассмотрим деформированное состояние системы (рис. 2.29в).

В силу малости перемещений предполагаем, что угол между осью стержня 1 и осью стержня 2 не изменяется. Из прямоугольного треугольника можно записать следующее уравнение совместимости перемещений:

l₁=l₂ cos α

По закону Гука удлинения стержней имеет вид:

l₁=N₁ 2a/EF+ T 2a

l₂=N₂ 5a/EF+ T 5a

После подстановки уравнение совместимости перемещений примет вид:

N₁ 2a/EF+ T 2a= (N₂ 5a/EF+ T 5a) cos α (4)

Таким образом, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:

N₃+N₂ sin α=0

N₁ +N₂ cos α=0

N₁ 2a/EF+ T 2a= (N₂ 5a/EF+ T 5a) cos α

Решая совместно уравнения, получаем неизвестные усилия N:

N₁= , N₂=

N₃=