1.8 Критерий Кулона-Мора

Рассмотренные критерии пластичности применимы для материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Однако, ряд материалов обладает разной прочностью при растяжении и сжатии. Критерий Кулона-Мора основан на предположении, что прочность зависит, главным образом, от величины и знака наибольшего ₁ и наименьшего₃ главных напряжений. Если при некоторых ₁ и ₃ возникает текучесть, то круг Мора, построенный на этих напряжениях, соответствует предельному состоянию материала. Меняя соотношение между ₁ и ₃, получим семейство предельных кругов. Огибающая этих кругов определяет сочетания нормальных и касательных напряжений, при которых возникает текучесть материала (рис 9.4).

Рисунок 9.4

Для точного построения огибающей необходимо выполнить большое количество экспериментов при различных напряженных состояниях. На практике ограничиваются минимальным количеством испытаний для наиболее просто реализуемых напряженных состояний. Огибающую можно с достаточной степенью точностью заменить прямой касательной к кругам Мора построенным для растяжения с диаметром равным пределу текучести при растяжении _т р и для сжатия - с диаметром равным пределу текучести при сжатии _т сж. Следовательно, для построения схематизированной огибающей достаточно провести испытания образцов материала при одноосном растяжении и при одноосном сжатии. С достаточной степенью точности огибающая заменяется касательной к кругам Мора, соответствующих результатам этих испытаний (рис. 9.5).

Рисунок 9.5

Это позволяет найти зависимость между главными напряжениями рассматриваемого напряженного состояния ₁ и ₃ и эквивалентным напряжением _экв при равноопасном одноосном растяжении. В точка касания огибающей с тремя кругами восстановим перпендикуляры, которые совпадают с радиусами кругов, а через точку А проведем горизонтальную прямую. Из подобия треугольников ABB₁ и ACC₁, следует

, (1)

Из рисунка видно:

, ,

,

Подставим эти выражения в соотношение (1) и после преобразований получим условие тукучести:

Обозначим , тогда условие текучести принимает вид:

Следовательно, эквивалентное напряжение:

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

(2)

Учитывая, что для бруса в опасном сечении действуют нормальные напряжения σ и касательные напряжения τ_max, тогда главные напряжения:

(3)

Подставим выражение (3) в соотношение (2) после преобразований получим условие текучести для бруса:

Эквивалентное напряжение для бруса:

σ_экв=

1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии

Проанализируем условия текучести при различных критериях для двуосного напряженного состояния. Условия текучести имеют следующий вид:

а) по критерию максимального главного напряжения:

;

б) по критерию максимальной главной деформации:

;

в) по критерию суммарной энергии деформации:

σ₁² + σ₂² + 2μσ₁σ₂ = σ_тр²

г) по критерию максимальных касательных напряжений:

σ₁- σ₂ = σ_тр

д) по критериям энергии деформации сдвига и интенсивности напряжений:

Представим эти соотношения в прямоугольных координатах «u-v», которые повернуты относительно координат «σ₁-σ₂» на 45 против часовой стрелки. Для этого подставим в условия текучести:

Тогда при различных критериях для двуосного напряженного состояния и при равенстве пределов текучести на растяжение и сжатие (σ_тр = σ_тсж = σ_т) условия текучести принимают вид.

а) по критерию максимального главного напряжения:

;

б) по критерию максимальной главной деформации:

;

в) по критерию суммарной энергии деформации:

.

Это уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью и большой полуосью ;

г) по критерию максимальных касательных напряжений:

;

д) по критерию энергии деформации сдвига и интенсивности напряжений:

.

Это уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью и большой полуосью .

Построим приведенные соотношения в прямоугольных координатах «σ₁-σ₂» (рис. 9.6).

Рисунок 9.6

Фигура Критерий статической прочности

abcd Критерий максимального главного напряжения

efgh Критерий максимальной главной деформации

ajkclm Критерий максимальных касательных напряжений

эллипс (сплошная линия) Критерий энергии деформации сдвигу

эллипс (пунктирная линия) Критерий суммарной энергии деформации

Каждая из фигур означает, что для соответствующего критерия текучесть не наступит до тех пор, пока точка со значениями σ₁, σ₂ не выйдет за пределы области ограниченной фигурой. Сравнение областей ограниченных различными фигурами показывает, что наименьшая область ограничена шестиугольником ajkclm, который соответствует критерию максимальных касательных напряжений. Можно заметить, что в том случае, когда главные напряжения σ₁, и σ₂ одновременно растягивающие или сжимающие, то области ограниченные шестиугольником ajkclm и квадратом abcd ( 1-ая и 3-ая четверти прямоугольной системы координат) совпадают. В том случае, когда одно из главных напряжений растягивающее, а другое сжимающее, то область, ограниченная шестиугольником ajkclm меньше области ограниченной квадратом abcd. Это означает, что при прогнозе текучести по критерию максимальных касательных напряжений текучесть наступит раньше, чем по критерию наибольших главных напряжений. Эллипс, ограничивающий область соответствующую, как критерию энергии деформации сдвига, так и критерию интенсивности напряжений огибает шестигранник, соответствующий критерию наибольших касательных напряжений. Таким образом, по критерию энергии деформации сдвига текучесть наступит при больших значениях главных напряжений σ₁, и σ₂, чем по критерию наибольших касательных напряжений. По критерию максимальной главной деформации область ограничена ромбом диагонали которого совпадают с осями координат u-v, развернутыми относительно исходной системы координат σ₁-σ₂ на 45.

В заключении следует отметить, что прогноз текучести по шести рассмотренным критериям предельного состояния только по трем критериям (критерий наибольших касательных напряжений, критерий энергии сдвига и критерий интенсивности напряжений) согласуются с результатами эксперимента. Кроме того только эти три критерия позволяют утверждать, что текучесть не наступит при всестороннем растяжении или сжатии в условиях отсутствия касательных напряжений, что также подтверждается экспериментом.