- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
Рассмотрим нагруженность поперечного сечения бруса подверженного действию чистого изгиба. В этом случае в поперечном сечении возникает только изгибающий момент Mz, который является суммой моментов, вызванных нормальными элементарными силами dF относительно нейтральной линии (рис. 3.63):
(1)
Рисунок 3.63
Для определения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению примем следующие допущения.
1. Справедлива гипотеза Бернулли, т.е. сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса и после деформации.
2. Выполняется гипотеза о не надавливании продольных волокон друг на друга.
3. По ширине сечения напряжения постоянны.
Принятые гипотезы подтверждаются следующим экспериментом. Нанесем на поверхность бруса сетку продольных и поперечных линий. Нагрузим брус изгибающим моментом (рис. 3.64).
Рисунок 3.64
Продольные линии искривятся. Продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а на вогнутой стороне сжатие. Между сжатыми и растянутыми волокнами существует слой волокон, который искривляется, но его первоначальная длина не изменяется. Этот слой называют нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называют нейтральной линией сечения. Поперечные линии не искривляются, а только поворачиваются, но остаются перпендикулярными продольным линиям. Это подтверждает гипотезу плоских сечений. Так как расстояние между продольными линиями остается без изменений этим подтверждается гипотеза о ненадавливаемости волокон.
Рассмотрим деформирование элемента бруса длиной dx (рис. 3.65).
Рисунок 3.65
В результате поворота левого сечения относительно правого на угол dθ верхние слои сечения удлиняться, а нижние укоротятся. Очевидно, существует нейтральный слой, который не удлиняется, а только искривляется. Кривизна нейтрального слоя будет следующая:
Относительное удлинение волокна на расстоянии y от нейтрального слоя:
Гипотеза о ненадавливаемости волокон позволяет предположить, что волокно находится в условии одноосного напряженного состояния, следовательно, справедлив закон Гука:
(2)
Таким образом, при чистом изгибе нормальные напряжения по поперечному сечению распределены по линейному закону. Подставим полученное выражение в соотношение (1), получим:
откуда кривизна нейтрального слоя балки:
(3)
Подставим выражение (3) в соотношение (2), получим формулу для определения нормальных напряжений при чистом изгибе:
Максимальные напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси:
Отношение называют моментом сопротивления сечения и обозначают Wz:
Таким образом:
Определим положение нейтрального слоя. Для этого рассмотрим условие о том, что при чистом изгибе нормальное усилие в поперечном сечении равно нулю:
Так как не равно нулю, то:
Учитывая, что статический момент сечения равен нулю относительно оси, проходящей через центр его тяжести, то можно заключить, что нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения и совпадает с центральной осью.
Рассмотрим теперь условие о том, что при чистом изгибе изгибающий момент My от внутренних усилий в поперечном сечении относительно оси у также равен нулю:
Откуда центробежный момент инерции сечения:
Izy = 0
Таким образом, для выполнения уравнения My =0 необходимо, чтобы центробежный момент инерции Izy был равен нулю относительно выбранных центральных осей y и z. Это возможно в том случае если оси y и z являются главными центральными осями инерции сечения.
Итак, полученные формулы определения нормальных напряжений и , а также кривизны нейтрального слоя справедливы для балки произвольного поперечного сечения, если только оси z и y являются главными центральными осями инерции сечения, а внешняя нагрузка действует в плоскости содержащей ось стержня и одну из главных центральных осей сечения.
Формула является основной при расчете на прочность бруса при изгибе. Для бруса прямоугольного сечения со сторонами b и h:
Для бруса круглого сечения диаметра D:
Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Очевидно, что наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых при наименьшей площади сечения достигается наибольшая величина момента сопротивления сечения Wz. Очевидно, это возможно при удалении площади сечения подальше от нейтральной оси. Поэтому рациональными являются брусья с тонкостенными сечениями в форме двутавра или швеллера.
Пример 3.8
На рисунке 3.66 приведены схемы различных сечений балки, которая изгибается моментом Mz =36 кНм. Подобрать размеры b и h этих сечений при максимальном напряжении σmax=120 МПа. Сравнить площади сечений в процентах по отношению к наименьшей площади. Принять b/h=0,75.
Рисунок 3.66
Решение.
Размеры сечений определим из условия достижения максимального напряжения при изгибе балки:
, откуда
1. Для прямоугольного сечения 1:
, откуда
h=14,7 см
Площадь сечения: F1 = 0,75h2 = 0,75 14,72 = 162,9 см2
2. Для прямоугольного сечения 2:
, откуда
h=13,4 см
Площадь сечения: F2 = 0,75h2 =0,75×13,42 = 134,7 см2
3. Для круглого сечения 3:
, откуда
h=14,4 см
Площадь сечения: F3 = π(h/2)2 =3,14×7,22 = 162,8 см2
4. Для кольцевого сечения 4:
, откуда
h=17,3 см
Площадь сечения: F4 = π(h/2)2×(1-0,752)=3,14×8,652×(1-0,752)= 102,8 см2
5. Для тонкостенного квадратного сечения 5:
, откуда
h=14,6 см
Площадь сечения: F5 = (1-0,752)×h2 =(1-0,752)×14,62 = 93,5 см2
6. Для двутаврового сечения 6:
, откуда
h=17 см
Площадь сечения: F6 = 2×0,75×0,1×h2 =2×0,75×0,1×172= 43 см2
9. Вычислим отношения площадей сечений:
F1/F6=162,9/43=3,8 F2/F6=134,7/43=3,1 F3/F6=162,8/43=3,8
F4/F6=102,8/43=2,4 F5/F6=93,5/43=2,2
Следовательно, наиболее рациональным является двутавровое сечение 6 (рис. 3.66).