6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения

Предположим, что оси «y-z» являются главными центральными осями сечения «y_c‑z_c». В этом случае центробежный момент инерции сечения равен нулю:

Подставим в соотношения 2 и 3, получим:

(4)

(5)

Из соотношений 4, 5 определим sinφ_n , cosφ_n и подставим в выражение 1, получим соотношение для определения изгибных напряжений в точке сечения:

, где

(6)

(7)

Разделим соотношение 5 на соотношение 4 и, учитывая соотношения 6 и 7, получим выражение для определения тангенса угла наклона нейтральной оси к главной центральной оси φ_n:

6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения

Рассмотрим случай, когда оси «y-z» являются взаимно перпендикулярной парой осей проходящих через центр тяжести сечения. Как показано выше:

(8)

(9)

где , .

Решая систему уравнений 8 и 9 совместно относительно неизвестных sinφ_n , cosφ_n и подставив их значения в соотношение 1 получим выражение для определения изгибных напряжений:

(10)

Введем обозначения:

k₁= I_zy/(I_zI_y-I_zy²)

k₂= I_y/(I_zI_y-I_zy²)

k₃= I_z/(I_zI_y-I_zy²).

Подставим эти соотношения в выражение 10, получим:

(9)

Так как на нейтральной оси напряжения равны нулю, то приравняв правую часть соотношения 9 нулю, получим уравнение нейтральной оси:

, или

Тангенс угла наклона нейтральной оси к оси z:

 Пример 3.18

Консольно закрепленный прямой брус длиной a=2 м прямоугольного сечения 0,1 м×0,05 м нагружен сосредоточенным усилием 5 кН на свободном конце под углом α=30º, как показано на рисунке 3.90. Определить положение нейтральной оси и максимальное напряжение.

Рисунок 3.90

Решение.

Так как прямоугольное поперечное сечение бруса имеет две оси симметрии, то эти оси являются главными центральными осями сечения «z_c -y_c».

1. Определим максимальные изгибающие моменты, которые возникают в заделке относительно осей «z_c -y_c» :

M_zc=P×a×sinα=5×2×sin30º=5 кНм

M_yc=P×a×cosα=5×2×cos30º=8,66 кНм

2. Определим моменты инерции сечения относительно осей «z_c -y_c»:

3. Определяем нормальные напряжения:

4. Уравнение нейтральной линии:

Угол наклона нейтральной линии к оси z:

, откуда

β=66,6º

5. Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленной от нейтральной линии, точке A (рис. 3.92б) и равны:

Пример 3.19

Шарнирно закрепленный прямой брус длиной a=2 м тонкостенного сечения нагружен распределенной нагрузкой q=2410³ Н/м, как показано на рисунке 3.91. Распределенная нагрузка действует в вертикальной плоскости, проходящей через центр изгиба, т.е. изгиб балки не сопровождается кручением. Материал бруса сталь, E=21×10⁴ МПа. Определить максимальное изгибное напряжение и прогиб в середине бруса.

Рисунок 3.92

Решение.

1. Построим эпюру изгибающих моментов от основных нагрузок.

Рисунок 3.93

1.1 Вычислим реакции опор (рис. 3.93a).

откуда

Y₁= Y₂ =qa/2

2.2 Изгибающий момент.

Эпюра изгибающих моментов приведена на рисунке 3.93б. Максимальный изгибающий момент возникает в середине балки и равен:

.

2. Положение центра тяжести, центральных осей «z_c-y_c» и моменты инерции поперечного сечения I_zc, I_yc и I_zc yc определено в примере 5.2:

y_c = 0,1866 м,

z_c = 0,300 м,

I_{yс zс} = - 9,67310^-6 м⁴,

I_zc = 7,11810^-5 м⁴,

I_yc = 4,53110^-4 м⁴.

3. Определим распределение изгибных напряжений по сечению по формуле 9:

, где

k₁= I_zc yc / (I_zc I_yc - I_zc yc²)= - 9,67310^-6 /(7,11810^-5 4,53110^-4 -(- 9,67310^-6)²)=-300,8

k₂= I_yc / (I_zc I_yc -I_zc yc²) = 4,53110^-4 /(7,11810^-5 4,53110^-4 -(- 9,67310^-6 )²)=14089,8

k₃= I_zc / (I_zcI_yc-I_zc yc²) = 7,11810^-5 /(7,11810^-5 4,53110^-4 -(- 9,67310^-6 )²)=2213,4

Учитывая, что:

, M_y=0,

тогда нормальные напряжения определяются соотношением:

Тангенс угла наклона нейтральной оси к оси z_с:

Угол наклона нейтральной оси:

φ_n=-1,2 º.

Из рисунка 3.94б видно, что наиболее удаленная точка сечения от нейтральной линии является точка B. Координаты точки B:

z_B=(295-303)10^-3 = - 810^-3 м, y_B= 186,610^-3 м

В этой точке возникают наибольшие напряжения:

Рисунок 3.94

4. Определим перемещение сечения в середине балки. Для определения перемещения применим интеграл Мора.

4.1. Спроецируем изгибающий момент на главные центральные оси u и v.

Угол наклона главных центральных осей определен в примере 5.2:

α = -1,45

4.2 Построим эпюру изгибающего момента от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.95):

Рисунок 3.95

4.3 Спроецируем изгибающий момент на главные центральные оси u и v:

4.4 Перемещения в направлении осей u и v определим интегралом Мора.

Главные моменты инерции сечения определены в примере 5.2 в главе 5:

I₁ = 45,3 10^-5 м⁴,

I₂ = 7,1 10^-5 м⁴

Суммарный прогиб:

Пример 3.20

На рисунке 3.96 приведено типовое сечение крыла, которое состоит из двух секций. Обшивка на верхней и нижней поверхности подкреплена z-образными стрингерами. Геометрические размеры сечения приведены в примере 5.3 в главе 5. Сечение нагружено двумя изгибающими моментами один в вертикальной плоскости M_z = 100 кНм, а второй в горизонтальной плоскости M_y = 5 кНм. Необходимо определить изгибные напряжения в стрингерах сечения.

Рисунок 3.96

Решение.

1. Решением примера 5.3 в главе 5 для заданного сечения определены координаты центра тяжести y_{c ,}z_c и моменты инерции I_z, I_y, I_zy относительно центральных осей «z-y», которые имеют следующие значения:

y_c= -0,01004 м

z_c= -0,3899 м

I_z=7,3110^-5 м⁴,

I_y= 16,4 10^-5м⁴,

I_yz= -1,5110^-5 м⁴,

2. Напряжение в любой точке сечения определим по формуле:

, где

k₁= I_zy/(I_zI_y-I_zy²)

k₂= I_y/(I_zI_y-I_zy²)

k₃= I_z/(I_zI_y-I_zy²).

Вычислим коэффициенты k₁, k₂, k₃:

k₁= -1,5110^-5 /(7,310^-516,4 10^-5 –(-1,5110^-5)²)=-1,28910³ м^-4

k₂= 16,4 10^-5 /(7,310^-516,4 10^-5 –(-1,5110^-5)²)=13,9510³ м^-4

k₃= 7,310^-5 /(7,310^-516,4 10^-5 –(-1,5110^-5)²)=6,21610³ м^-4

После подстановки и преобразования получим соотношение для определения изгибных напряжений:

= -(6,21610³510^-3-(-1,28910³) 10010^-3) (z-z_c)-(13,9510³10010^-3-(-1,28910³) 510^-3) (y-y_c) = -(159,1 (z-z_c)+1402 (y-y_c)) МПа

Используя полученную зависимость, вычислим напряжения в стрингерах. Результаты вычислений приведены в таблице 3.5.

Таблица 3.5

№ стрингера	yi, м	zi, м	yi-yc, м	zi-zc, м	s Мпа
1	0,100	-0,829	0,110	-0,439	-84,1
2	0,150	-0,732	0,160	-0,342	-169,7
3	0,175	-0,621	0,185	-0,231	-222,4
4	0,184	-0,530	0,194	-0,140	-250,0
5	0,189	-0,415	0,199	-0,025	-274,8
6	0,188	-0,315	0,198	0,075	-288,9
7	0,183	-0,215	0,193	0,175	-297,9
8	0,173	-0,100	0,183	0,290	-302,3
9	0,163	-0,009	0,173	0,381	-302,9
10	-0,083	-0,831	-0,072	-0,441	172,2
11	-0,123	-0,657	-0,112	-0,267	200,4
12	-0,149	-0,621	-0,139	-0,231	231,5
13	-0,185	-0,468	-0,175	-0,078	257,7
14	-0,203	-0,311	-0,193	0,079	258,1
15	-0,216	-0,153	-0,205	0,237	250,1
16	-0,222	-0,009	-0,212	0,381	235,9