1 Кинематический анализ плоских систем

Степень статической неопределимости можно определить на основании кинематического анализа стержневой системы.

Пусть число элементов системы соединенных между собой шарнирами будет d. Каждые элемент плоской системы обладает тремя степенями свободы, т.е. могут перемещаться поступательно в двух направлениях и вращаться. Следовательно, общее число степеней свободы системы равно 3d.

Каждый шарнир, соединяющий два смежных элемента ликвидирует две степени свободы, так как предотвращает взаимное смещение в двух направлениях соединенных шарниром элементов, и допускает только их вращательное перемещение. При наличии в системе s шарниров, будет ликвидировано 2s степеней свободы.

Каждый опорный стержень уменьшает число степеней свободы системы на единицу. Следовательно, если в системе c₀ опорных стержней, то число степеней системы уменьшится на число опорных стержней.

Таким образом, общее число степеней свободы системы равно:

n = 3d – 2s – c₀ (1)

Для закрепленных, не свободных систем в случае если:

а) n > 0, то система геометрически изменяема, т.е. механизм;

б) n = 0, то система геометрически неизменяема и статически определима;

в) n < 0, то система геометрически неизменяема и статически неопределима; n - степень статической неопределимости.

Так как замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи то формула (1) преобразовывается к виду:

n = 3d – 2s-3

Рассмотрим несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем приведенных на рисунке 8.2.

Рисунок 8.2

а) Рама имеет четыре избыточные внешние связи. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 7= -4

Число внутренних степеней свободы для замкнутого контура рамы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×0 - 2×0 - 3= -3

Таким образом, система семь раз статически неопределима.

б) Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням, поэтому его можно рассматривать как два совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×2 - 2×1 - 5= -1

Это означает, что рама имеет одну избыточную внешнюю связь.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Следовательно, замкнутый контур рамы имеют две избыточную внутренние связи.

Таким образом, система три раза статически неопределима. Обобщая полученный результат, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей на единицу меньше числа сходящихся в нем стержней.

в) Шарнир А принадлежит одновременно четырем стержням, поэтому его можно рассматривать как три совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×3 - 2×2 - 7= -2

Рама имеет две избыточные внешние связи.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи.

Таким образом, система четыре раза статически неопределима.

г) Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 4= -1

Рама имеет одну избыточную внешнюю связь.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи.

Таким образом, система три раза статически неопределима.