Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты

Кручением называют такую деформацию бруса, при которой в поперечных сечениях возникает только крутящий момент. Вызывается кручение распределенными m(х) и сосредоточенными M парами сил, действующими в плоскостях перпендикулярных оси бруса. Брус, работающий на кручение, часто называют валом. Примерами могут быть валы вращения воздушных винтов или лопастей вертолета, валы турбины и компрессора турбореактивного двигателя, валы редукторов и т.д. Для вала внешние крутящие моменты зачастую бывают неизвестны, а задаются передаваемые мощности. В этом случае крутящие моменты определяют по формуле:

[Нм], где

Р - мощность выраженная в ваттах,

ω - угловая скорость вращения вала, измеряемая в радианах в секунду.

Если задана частота вращения вала в оборотах в минуту n, то угловую скорость можно найти по формуле:

Используя принятые гипотезы, методами сопротивления материалов можно решить задачу кручения бруса сплошного круглого и кольцевого сечений, а также брусьев тонкостенного сечения произвольной формы. Задачу кручения брусьев некруглого (прямоугольного, эллиптического, треугольного и т.д.) сечений решают в теории упругости.

3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса

Рассмотрим брус ступенчатого сечения (рис. 2.33а).Для определения внутренних силовых факторов используем метод сечений. В сечении, в котором определяем крутящий момент, брус мысленно рассекаем плоскостью, одну часть (в данном случае с заделкой) отбрасываем и, рассматривая равновесие оставшейся части, определяем внутренние силовые факторы. При составлении уравнения равновесия придерживаемся следующего правила знаков:‑крутящий момент считаем положительным, если он вращает по часовой стрелке, в случае наблюдения со стороны внешней нормами к проведенному сечению.

Итак, запишем уравнение равновесия по участкам бруса, расположенными между характерными сечениями.

Рисунок 2.33

Участок 1-2 (рис. 2.33б).

Σmom_x=M_1-2(x)+M₁=0, откуда

M_1-2(x)=-M₁

Участок 2-3 (рис. 2.33в).

Σmom_x=M_2-3(x)+M₁-M₂=0, откуда

M_2-3(x)=M₂-M₁

Участок 3-4 (рис. 2.33г).

, откуда

Обобщим последнее выражение на произвольное число распределенных k₁ и сосредоточенных k₂ нагрузок:

Следовательно, крутящий момент, возникающий в произвольном сечении, численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих на брус по одну (любую) сторону от рассматриваемого сечения.

3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса

Рассмотрим кручение ступенчатого бруса, у которого оба торца жестко закреплены (рис. 2.34а).

Рисунок 2.34

Освободим брус от заделок и их действие заменим неизвестными моментами М₁ и М₂ (рис. 2.34б). Запишем уравнение равновесия:

Σmom_x=-М₁+M-М₃=0 (1)

Вал один раз статически неопределим, так как число неизвестных на единицу превысило число независимых уравнений равновесия.

Дополнительно уравнению равновесия составим уравнение совместимости деформаций, учитывающее деформированное состояние стержня.

Уравнение совместимости выражает невозможность поворота сечения 3 относительно сечения 1:

φ_1-3=0

Угол поворота сечения 3 относительно 1 складывается из поворота сечения 2 относительно 1 и поворота сечения 3 относительно сечения 2, т.е.:

φ_1-3=φ_1-2+φ_2-3=0 (2)

Углы поворота φ определим по формуле для участка бруса с постоянными значениями М_x и GI_к :

φ=(M_xl)/GI_к , где

М_x- крутящий момент;

G- модуль упругости второго рода;

I_к – полярный момент инерции сечения;

l- длина участка бруса.

Следовательно:

φ_1-2=(M_1-2a)/GI_к1,

φ_2-3=(M_2-3a)/GI_к2

Неизвестные внутренние усилия определим по правилу для статически определимого бруса:

M_1-2=M₁

M_2-3=-M+M₁

Подставим в соотношение (2), получим следующее уравнение совместимости деформаций

(M₁a)/GI_к1+((-M+M₁)a)/GI_к2=0, или

-MI_к2+M₁(I_к1+I_к2)=0, откуда

M₁=(MI_к2)/(I_к1+I_к2)

Из уравнения равновесия (1):

М₃=M-М₁=M-(MI_к2)/(I_к1+I_к2)=(MI_к1)/(I_к1+I_к2)

Следовательно, искомые внутренние усилия равны:

M_1-2=(MI_к2)/(I_к1+I_к2)

M_2-3=M-(MI_к2)/(I_к1+I_к2)=(MI_к1)/(I_к1+I_к2)