6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
Перемещения и углы поворота сечений пространственного бруса на практике часто определяют при помощи интеграла Мора. Этот интеграл можно получить, исходя из равенства работы внешних сил A и потенциальной энергии U, накопленной в деформированном брусе: A=U.
Определим, например, перемещение δCP сечения C пространственного бруса, нагруженного произвольной системой внешних сосредоточенных и распределенных пар и сил. Для упрощения вывода интеграла Мора рассмотрим нагружение бруса одной сосредоточенной силой P. Составим баланс энергии A=U для трех условий нагружения бруса.
Первое состояние.
В первом состоянии к брусу прикладывается заданная внешняя нагрузка P (рис. 7.25). В сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx, My, Mz, нормальная сила N и перерезывающие силы Qy, Qz.
Рисунок 7.25
Баланс энергии в этом случае имеет вид:
(1)
Второе состояние.
Во втором состоянии брус нагружается единичной силой (рис. 7.26), от которой в поперечных сечениях возникают силовые факторы M'x, M'y, M'z, N', Q'y, Q'z.
Рисунок 7.26
Баланс энергии записываем:
(2)
Третье состояние.
В третьем состоянии на брус действует заданная и единичная нагрузки (рис. 7.27). Учитывая, что потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения сил (определяется лишь окончательным характером деформации системы), выбираем наиболее удобную для решения задачи последовательность нагружения. Сначала прикладываем единичную силу, а затем заданную нагрузку.
Рисунок 7.27
Запишем баланс энергии:
(3)
Раскрывая скобки под знаком интеграла в выражении (3), и учитывая выражения балансов энергий в первом и втором случаях (1) и (2), после преобразований окончательно получим интеграл Мора:
(4)
Произведение силового фактора от заданной нагрузки, например Mz, на соответствующий силовой фактор от единичной нагрузки Mz′ считается положительным, если эти факторы совпадают по направлению. Слагаемые формулы (4) по своей величине неравноценны и соотношение между ними зависит от типа стержневой системы. Для подавляющего числа рам влияние на их деформации перерезывающих и нормальных сил существенно меньше влияния изгибающих и крутящих моментов. Поэтому при определении перемещений сечений пространственных рам тремя последними слагаемыми формулы (4) обычно пренебрегают. В этом случае интеграл Мора принимает вид:
(5)
На прямолинейных участках для вычисления интеграла целесообразно пользоваться правилом Верещагина. При вычислении интегралов Мора по криволинейным участкам удобно использовать готовые значения интегралов, которые приведены в таблице 7.1.
Таблица 7.1
|
|
|
|
|
|
sin φ |
1 - cos φ |
1 |
2 |
1 |
0 |
cos φ |
sin φ |
1 |
0 |
-1 |
0 |
sin2 φ |
½( φ - ½sin 2φ) |
π/4 |
π/2 |
3π/4 |
π |
cos2 φ |
½( φ + ½sin 2φ) |
π/4 |
π/2 |
3π/4 |
π |
sin φ× cos φ |
½ sin2 φ |
1/2 |
0 |
1/2 |
0 |
1- cos φ |
φ - sin φ |
π/2 - 1 |
π |
3π/2 + 1 |
2 π |
(1- cos φ) 2 |
3/2φ - 2sin φ+1/4 sin 2φ |
3π/4 - 2 |
3π/2 |
9π/4 + 2 |
3π |
(1- cos φ) sin φ |
1 - cos φ - ½ sin2 φ |
1/2 |
2 |
1/2 |
0 |
(1- cos φ) cos φ |
sin φ - φ/2 - 1/4 sin 2φ |
1- π/4 |
-π/2 |
-1 - 3π/4 |
- π |
Пример 7.3
Определить горизонтальное смещение δA точки A и угол поворота φB сечения B пространственного бруса приведенного на рисунке 7.28. Жесткости на кручение GIp, и изгиб EIy, EIz считать заданными и постоянными на всех участках бруса.
Рисунок 7.28
Решение.
1. Строим эпюры крутящих и изгибающих моментов от заданных нагрузок. Эти эпюры были построены ранее при решении примера 7.1. Воспользуемся полученными эпюрами (рис. 7.29).
Рисунок 7.29
2. Для определения перемещения δA приложим единичное усилие в сечении A в направлении искомого перемещения δA (рис. 7.30).
Рисунок 7.30
Построим эпюры моментов (рис. 7.31).
Рисунок 7.31
Перемножаем эпюры M (рис. 7.29) на эпюры M’ (рис. 7.31). Перемножение эпюр выполняем на участках где эпюры M и M’ находятся в одной плоскости по правилу Верещагина.
Перемещение сечения A в горизонтальном направлении:
3. Для определения угла поворота φB приложим единичный момент в сечении B (рис. 7.32).
Рисунок 7.32
Построим эпюры моментов (рис. 7.33).
Рисунок 7.33
По правилу Верещагина перемножаем эпюры M (рис. 7.29) на эпюры M’ (рис. 7.33), получим угол поворота φB:
