Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям

На практике наиболее часто встречаются два случая расчета статической прочности по допускаемым напряжениям.

Проектировочный расчет. В этом случае по известным нагрузкам и для выбранного материала требуется определить необходимые размеры поперечного сечения элемента конструкции, обеспечивающие его надежную работу. В основе этого расчета для одноосного напряженного состояния лежит условие прочности:

или ,

выражающее тот факт, что наибольшее напряжение (нормальное _max или касательное τ_max) действующее в сечении элемента конструкции не должно превышать соответствующего допускаемого напряжения [_max] ([τ_max]). Допускаемое напряжение определяют как частное от деления предельных напряжений _пред (τ_пред) на запас прочности n_ (n_τ):

, или

В качестве предельных напряжений принимают предел прочности _в (τ_в). для хрупких материалов и предел текучести _т (τ_т) для пластических материалов.

При установлении запаса прочности n_ (n_τ) учитывают разброс механических свойств материала, отступления в геометрии элементов конструкции, хотя бы в пределах допусков.

2. Проверочный расчет. Проводят в случае, когда заданы размеры элемента конструкции и его материал. Требуется выяснить, может ли заданный элемент выдержать, не разрушаясь, заданную нагрузку. В этом случае определяют избытки прочности _ (_τ) как отношение допускаемых напряжений к максимальным действующим напряжениям:

или .

Аналогично проводят расчет на жесткость, только вместо условия прочности записывают условие жесткости, ограничивающее величину деформаций (или перемещений). Однако даже в том случае, когда выполнен расчет на жесткость, всегда необходимо проводить проверочный расчет на прочность и, если он дает отрицательный результат, то следует принять размеры, полученные из расчета на прочность.

1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса

Считается, что стержневая система или ступенчатый брус разрушаться, если максимальное нормальное напряжение, возникающее в них, достигнет предельного напряжения материала, из которого они выполнены.

Условие разрушения имеет вид:

Наибольшее действующее напряжение определяют для наиболее напряженного стержня системы или сечения бруса по формуле:

 = N/F, где:

N- нормальное усилие,

F- площадь поперечного сечения.

В качестве предельных напряжений _пред примем те напряжения, при достижении которых в материале появляются признаки нарушения прочности: при достижении предела текучести _т‑ заметные остаточные деформации, при достижении предела прочности _в - появление излома. Таким образом, для пластичных материалов предельным напряжением будет предел текучести: _тр ‑ предел текучести при растяжении, или _тс ‑ предел текучести при сжатии. Для хрупких материалов предельным напряжением будет предел прочности: _вр ‑ предел прочности при растяжении, или _вс ‑ предел прочности при сжатии.

Следовательно, можно записать:

Стержневая система или ступенчатый брус считаются прочными, если максимальные расчетные напряжения, возникающие в них, будут меньше допускаемых напряжений. Это означает, что для стержневой системы или ступенчатого бруса, обладающих достаточной прочностью, должно выполняться условие прочности:

, где:

_max - наибольшее действующее напряжение,

[]-допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение [] определим как то максимальное напряжение, которое можно допустить при работе и при котором будет обеспечен требуемый запас прочности:

[]=_пред/n_, где:

_пред- предельное напряжение,

n_ - запас прочности.

Если возникает необходимость соблюдения требования необходимой жесткости, т.е. способности воспринимать заданные внешние нагрузки, не деформируясь выше установленных норм, то необходимо удовлетворить условию жесткости, которое требует, чтобы максимальное перемещение узла _max стержневой системы или сечения ступенчатого бруса не превышало допускаемого перемещения []:

Если получены два значения искомого размера (один из условия прочности, другой из условия жесткости), тогда в качестве окончательного принимают тот, который удовлетворяет обоим условиям, т.е. наибольший.

Пример 10.1

Подобрать сечение стержней фермы крепления двигателя (рис. 10.1) для случая нагружения двигателя силой тяги P^э_x и массовыми силами соответствующими случаю D. Вес двигателя G_дв = 10 кН; тяга P^э_x =30 кН; перегрузка n_D=-2,5; коэффициент безопасности f=1,5. Стержни фермы выполнены из тонкостенных стальных труб с отношением внутреннего диаметра к наружному d/D=0,9. Материал труб 30ХГСА. Предел текучести на растяжение _0,2=1162 МПа, предел текучести на сжатие _0,2 сж=1081 МПа.

Рисунок 10.1

Решение.

1. Определим расчетные нагрузки путем учета коэффициента безопасности и перегрузки в заданном случае нагружения.

P_x= f P^э_x=1,530= 45 кН.

P_н= f  n_D  G_дв = 1,5(-2,5) 10= -37,5 кН.

2. Двигатель крепится с помощью шести стержней. Так как для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия, то система является статически определимой. Для определения усилий в стержнях удалим опоры, и их действие заменим неизвестными усилиями в стержнях (рис. 10.2).

Рисунок 10.2

В силу симметрии можно записать:

N_1-2= N_1`-2` N_1-3= N_1`-3`

Для определения усилий в стержнях составим уравнения равновесия:

Решая систему уравнений, получим усилия в стержнях:

Из рассмотрения схемы нагружения определим:

,

,

.

Вычислим численные значения усилий в стержнях:

3. Определим напряжения в стержнях:

4. Диметры стержней определим из условий:

, откуда:

, d_1-2=0,9 15=13,5 мм

, d_1-3=0,9 12,8=11,5 мм

, d_4-5=0,9 9=8 мм

Пример 10.2

Для ступенчатого стального бруса (рис. 10.3а) определить реакции в заделках, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , относительных деформаций , продольных перемещений l. Определить опасное сечение и подобрать необходимую площадь F из условия прочности на растяжение или сжатие.

Задано: a =0,5 м, q=200 кН/м, E = 2,110⁵ МПа. Допускаемое напряжение на растяжение []_р = 160 МПа, на сжатие []_c = 60 МПа.

Рисунок 10.3

Решение.

1.Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х₁ и Х₄. Нумеруем характерные сечения (рис. 10.3б).

2. Запишем уравнение равновесия:

X=-X₁+q2a-2qa+X₄=0, или:

X₄–X₁=0 (1)

Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных.

3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки.

N_1-2(x)=X₁-qx,

N_2-3(x)=X₁–q2a,

N_3-4(x)=X₁–q2a+2qa=X₁

4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций:

l_1-4=0, или:

l_1-2+l_2-3+l_3-4=0

По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид:

l_1-2= =(a/EF)(X₁–qa)

l_2-3=((X₁–2qa)a)/(EF)

l_3-4=(X₁a)/(3EF)

Следовательно, уравнение совместимости примет вид:

(a/EF)(X₁–qa)+((X₁–2qa)a)/(EF)+(X₁a)/(3EF)=0, или

7/3X₁–3qa=0 (2)

Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим:

X₁=9/7qa

X₄=9/7qa

5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х₁:

N_1-2(x)=9/7qa-qx, N₁(0)=9/7qa, N₂(2a)=-5/7qa

N_2-3(x)=9/7qa–q2a=-5/7qa,

N_3-4(x)=9/7qa

Строим эпюру N (рис. 10.3в).

6. Запишем выражения нормальных напряжений:

_1-2(x)=(9/7qa–qx)/2F, ₁(0)=(9/7qa)/2F, ₂(2a)=(-5/7qa)/2F

_2-3(x)=(-5/7qa)/F,

_3-4(x)=(9/7qa)3F

Строим эпюру  (рис. 10.3г).

7.Запишем выражения относительных деформаций:

_1-2(x)=(9/7qa–qx)/2EF, ₁(0)=(9/7qa)/2EF, ₂(2a)=(-5/7qa)/2EF

_2-3(x)=(-5/7qa)/EF,

_3-4(x)=(9/7qa)3EF

Строим эпюру  (рис. 10.3д).

8. Запишем выражения перемещений сечений:

l_1-2(x)= =(1/2EF)(9/7qax–qx²/2);

l₁(0)=0; l₂(2a)=2/7(qa²/EF)

l_2-3(x)=2/7(qa²/EF)+ =2/7(qa²/EF)–5/7(qax/EF);

l₂(0)=2/7(qa²/EF); l₃(a)=-3/7(qa²/EF)

l_3-4(x)=-3/7(qa²/EF)+ =-3/7(qa²/EF)+3/7(qax/EF)

l₃(0)=-3/7(qa²/EF); l₄(a)=0

Строим эпюру l (рис. 10.3е).

Вычислим значение экстремума на эпюре l:

_1-2(x)=(9/7qa–qx_max)/2EF=0, откуда

x_max=9/7a, тогда

l_1-2(x_max)=(1/2EF)(9/7qa 9/7a–q(9/7a)²/2)=81/196(qa²/EF)

9. Запишем условия прочности:

9/14(qa/F)<=[]_р

-5/7(qa/F)>=[]_c

Определяем потребную площадь сечения:

F>=9/14(qa/[]_р)=9/14(200 10³ 0,5/160 10⁶)=4 10^-4м²

F>=-5/7(qa/[]_с)=-5/7(200 10³ 0,5/(-60 10⁶))=11,9 10^-4м²

Таким образом, опасным является участок 2-3.

Выбираем наибольшее значение F = 11,9 10^-4м².