- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
Усилия в стержнях статически определимой системы определяют методом сечений. Применение метода рассмотрим на примере определения усилий в стержнях системы, приведенной на рисунке 2.10.
Пусть для системы заданы линейный размер a и усилие P. Стержень ABC абсолютно жесткий. Необходимо определить осевые усилия N в стержнях системы.
Система статически определима, что не трудно установить путем последовательного удаления любого из стержней или любой опоры. В этом случае система становится геометрически изменяемой и не воспринимает внешнюю нагрузку.
Рисунок 2.10
Для определения усилий выполним следующую последовательность операций.
1. Проводим сечения, вырезающие узел G и заменяем действие отброшенной части системы внутренними усилиями N, которые направляем на растяжение (рис. 2.11):
Рисунок 2.11
Составляем уравнения равновесия. При составлении уравнений равновесия используем принцип сохранения начальных размеров. Согласно этому принципу в случае деформаций при составлении уравнений равновесия конструкцию можно рассматривать как жесткую, имеющие первоначальную размеры и форму.
x=-N4–N5×cos=0
y=-P–N5×sin=0
откуда:
N5=-Psin; N4=-P/tg.
2. Проводим сечения, вырезающие узлы D и E, отбросим опоры, а их действие заменим внутренними усилиями N, которые направим на растяжение (рис. 2.12).
Рисунок 2.12
Составим уравнения равновесия:
x=-N1–N2×cos45-N3=0
y=-P–N2×sin45=0
momC=N3×a+P×2a=0
откуда:
N3=-2P; N2=-P/sin45; N1=2P+P/tg45
Знак плюс означает, что направление усилия в стержне выбрано правильно; знак минус означает, что направление усилия необходимо изменить на противоположное направление.
Пример 2.1
На рисунке 2.13 показана силовая схема крепления лонжерона крыла к фюзеляжу при помощи системы стержней. Лонжерон состоит из трех частей, которые соединены между собой шарнирно. Стержни соединены с лонжероном и фюзеляжем также при помощи шарниров. Лонжерон нагружен распределенной аэродинамической нагрузкой. Распределение нагрузки несимметричное относительно оси симметрии самолета. Необходимо определить усилия в стержнях и лонжероне.
Рисунок 2.13
Решение.
Вначале определим, является ли заданная стержневая система статически определимой? Из рисунка видно, что лонжерон крепится к фюзеляжу 5-ью стержнями. При нагружении пояса лонжерона в стержнях возникает 5 неизвестных осевых усилий. Направление и точки приложения этих усилий известны. Так как по торцам стержней установлены шарниры, то усилия возникают в шарнирах вдоль стержней. Для системы можно составить три уравнения равновесия, что недостаточно для определения 5-ти неизвестных. Дополнительные два уравнения можно составить, если учесть, что консольные части лонжерона соединены со средней частью в точках O и O΄ шарнирно. Это означает, что для группы сил расположенных по одну из сторон от шарнира момент относительно шарнира равен нулю. Таким образом, мы получаем два дополнительных уравнения моментов относительно точек O и O΄. Следовательно, система статически определимая.
Выделим правую консоль по шарнирам O и E. Действие отброшенной части заменим компонентами реакций XO, YO, XA, YA. Действие распределенных нагрузок заменим их равнодействующими (рис. 2.14).
Рисунок 2.14
Составим уравнение равновесия:
, откуда
YA= 10,32 кН
Компоненту XA определим из геометрического соотношения XA/ YA=2700/1500. Следовательно, XA=18,576 кН. Усилие в подкосе АЕ будет равно: NAE= = 21,25 кН.
Для определения XO и YO составим уравнения равновесия:
,
, откуда
XO = 18,576 кН, YO = -15,6 кН.
Отрицательный знак у компоненты YO означает, что компонента направлена в противоположную сторону.
Для левой консоли O´A´ очевидно, что усилия будут больше в 8/6 раз, так как погонная нагрузка на левой консоли увеличена до 8 кН/м по сравнению с погонной нагрузкой на правой консоли 6 кН/м.
Следовательно:
YA` = 10,32 ×4/3=13,76 кН, XA` =18,576×4/3=24,768 кН,
NA`E`=21,25×4/3=28,3 кН,
XO`=18,576×4/3=24,768 кН, YO`= -15,6×4/3= -20,8 кН
Выделим центральную часть лонжерона (рис. 2.15). Действие консолей заменим реакциями в шарнирах O и O´, которые получены ранее. Действие фюзеляжа заменим неизвестными усилиями NCB, NCB´, NC´B´, которые направим на растяжение стержней. Распределенные нагрузки заменим их равнодействующими.
Рисунок 2.15
Для определения усилия NBC составим уравнение моментов относительно точки B´: ,
откуда NBC=21.96 кН
Для определения усилия NB´C´ составим уравнение моментов относительно точки C:
,
откуда NB´C´=40,16 кН
Для определения усилия NB´C составим уравнение проекции на ось y:
,
откуда NB´C =-12,95 кН
Знак минус означает, что в стержне возникает сжимающее усилие.
Для проверки составим уравнение проекций на ось x:
Пример 2.2
Основная стойка шасси, представленная на рисунке 2.16, закреплена к нижней поверхности крыла и расположена в мотогондоле.
Рисунок 2.16
Закрепление шасси по линии AB обеспечивает передачу усилий в вертикальном и продольном направлениях, но не препятствует вращению вокруг оси s и поперечному перемещению. Подкос CD препятствует вращению относительно оси s, подкосы GD и FD предотвращают вращение вокруг оси D. Нагрузки приложены к осям колес несимметрично, как показано на рисунке. Необходимо определить реактивные усилия в узлах крепления шасси и усилия в подкосах.
Решение.
1. Построим расчетную схему основной стойки шасси. Применяя метод сечений, вырежем опорные узлы, а их действие заменим реакциями опор (рис. 2.17).
Рисунок 2.17
2. Для полученной пространственной системы нагрузок составим уравнения равновесия:
v=-VA-VB+VC+20000+30000=0
d=DA+DB–DC+7500+5000=0
momA(s)=VC500–75001600–50001600=0
momA(d)=VC500–VB1000+20000750+30000250=0
momO(v)=DA500–DB500+7500250–5000250=0
Так как подкос CD закреплен шарнирно, то реактивное усилие направлено вдоль него. Следовательно, компоненты DC и VC связаны соотношением:
DC=VCtgα=VC(500/700)
Решая полученную систему уравнений, получим:
VC=(75001600+50001600)/500=400 Н
VB=(400500+20000750+30000250)/1000=22700 Н
VA=50000+400-22700=27700 Н
DB=(2500250–12214,3500)/1000=-5482,2 Н
DA=-12214,3+5482,2=-6732,1 Н
3. Проверка:
momO(d)=VA500–VB500+20000250–30000250=27700500–22700500+20000250–30000250=0
4. Для определения усилия в подкосе GD, вырежем узел G и приложим усилие VA и реактивное усилие NGD со стороны отброшенной части (рис. 2.18).
Рисунок 2.18
Так как подкос закреплен шарнирно, то в нем возникнет только осевое усилие NGD.
Запишем уравнение равновесия:
v = -VA–NGD sin α = 0, откуда
NGD= - VA / sin α =