4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения

Определение напряжений в брусе с прямоугольным поперечным сечением не возможно методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что при кручении такого бруса упрощающая гипотеза плоских сечений оказывается неприемлемой. Это подтверждается следующим экспериментом (рис. 3.50).

Рисунок 3.50

Если на поверхность бруса нанести мелкую прямоугольную сетку, то после закручивания бруса поперечные линии сетки заметно искривятся, следовательно, искривлены будут и поперечные сечения бруса. Таким образом, при распределении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с искривлением сечений, который определяется уже функцией не одного переменного ρ как для сечений кольцевого сечения, а двух переменных х и у.

Распределение касательных напряжений по поперечному сечению полученное методами теории упругости приведено на рисунке (рис. 3.51).

Рисунок 3.51

Н аибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон:

К

M_x

асательные напряжения в середине короткой стороны:

τ_B = ητ_max

Относительный угол закручивания бруса:

Геометрическая жесткость на кручение:

Коэффициенты α, β, η являются функцией отношения сторон a/b и определяются таблицей 3.1.

Таблица 3.1

a/b	1	1,5	1,75	2	2,5	3	4	6	8	10	∞
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
η	1,000	0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля

При кручении бруса тонкостенного открытого профиля в отличие от кручения тонкостенного замкнутого профиля касательные напряжения распределены не равномерно по толщине профиля. Это обусловлено тем, что поток касательных усилий должен циркулировать внутри сечения, уравновешивая внешний крутящий момент. Схемы потоков касательных напряжений в замкнутом и открытом профилях сечений показаны на рисунке 3.52.

Рисунок 3.52

Для приближенного вычисления напряжений и углов поворота при кручении бруса тонкостенного открытого профиля используют формулы для кручения бруса с поперечным сечением в форме узкого прямоугольника с соотношением δ/h » 10 (рис. 3.53а).

Рисунок 3.53

В этом случае касательные напряжения распределены по толщине сечения по линейному закону, а вдоль длинной стороны сечения практически сохраняют постоянное значение, за исключением небольших зон у коротких сторон. Касательные напряжения τ и относительный угол поворота сечения θ вычисляют по формулам для прямоугольного сечения, подставив α=β=η=1/3.

τ = (M_x δ)/I_кр)

θ = M_x/(G I_кр)

I_кр = (1/3) δ³h

При кручении тонкостенного бруса незамкнутого криволинейного или ломаного профиля постоянной толщины (рис. 3.53б) касательные напряжения и угол поворота вычисляют по тем же формулам. Кривизна профиля не существенно сказывается на распределении касательных напряжений.

Пример 3.6

Определить напряжение и угловое перемещение в тонкостенной трубе, свернутой из листа, в двух вариантах:

а) края листа свободны (рис. 3.54а),

б) края листа склепаны (рис. 3.54б).

Сопоставить напряжения и углы поворота сечений. Найти усилие, приходящееся на одну заклепку.

Рисунок 3.54

Решение.

1. В первом варианте профиль поперечного сечения должен рассматриваться как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев внахлестку, по формулам для кручения бруса тонкостенного открытого профиля:

τ = (M_x δ)/I_кр

θ = M_x/(G I_кр)

φ = (M_x/(GI_кр))l

I_кр = (1/3) δ³h

получаем:

- геометрическая жесткость на кручение:

I_кр = (1/3) δ³πD;

- касательные напряжения:

τ_а = 3M_x/ πδ²D

относительный угол поворота:

θ_а = 3M_x/(G πδ³D)

угол поворота торцевых сечений друг относительно друга:

φ_а = (3M_x/(G πδ³D))l

2. Во втором варианте профиль является замкнутым. По формулам для кручения бруса тонкостенного замкнутого профиля получим:

- касательные напряжения:

τ_б = M_x/((2πD²/4)δ)

- геометрическая жесткость на кручение:

- угол поворота торцевых сечений друг относительно друга:

φ_б = (M_xl)/(GI_кр) = (M_xl π D) /(4G( π D² /4)²δ)

3. Для более наглядного сопоставления рассмотрим отношения напряжений и углов:

,

Таким образом, отношение напряжений имеет величину порядка D/δ, а отношение углов поворота - порядка D²/δ². Но по определению тонкостенности величина D много больше, чем δ. Следовательно, замкнутый профиль оказывается существенно более прочным и в еще большей степени жестким, чем такой, же незамкнутый. Этот вывод является общим. Внешний момент, приложенный к стержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментами внутренних сил на плечах порядка поперечных размеров сечения, а для открытого профиля на плечах порядка толщины. Отсюда следует, что касательные напряжения в открытом профиле будут во столько раз больше, чем в замкнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше, чем его толщина.

4. Для определения усилия действующего на одну заклепку выделим из трубы продольным сечением и двумя поперечными сечениями заклепочный узел длиной равной шагу заклепок t (рис. 3.55).

Рисунок 3.55

Сила, действующая на заклепку вдоль образующей:

P_з=τ_б δ t==(M_x/((2πD²/4)δ))δt=(2M_xt)/(πD²)

Из силовой схемы, представленной на рисунке 3.55, видно, что при отсутствии заклепок концы листа получили бы смещение вдоль образующей. Поперечное сечение вышло бы при этом из своей начальной плоскости и произошла бы, как говорят, депланация сечения. Ограничение депланации приводит к повышению жесткости и прочности бруса. В тех случаях, когда из эксплуатационных, монтажных или конструктивных соображений приходится идти на применение незамкнутых профилей, стараются наложить местные ограничения на депланацию.