- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
1.4 Расчет на прочность при изгибе
Из рассмотрения распределений нормальных и касательных напряжений поперечном в сечении балки при ее поперечном изгибе (рис. 10.12) можно заметить, что максимальные нормальные напряжения σmax возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, в то время как, наибольшие касательные напряжения τmax возникают в точках сечения лежащих на нейтральной оси, в которых нормальные напряжения равны нулю.
Рисунок 10.12
Кроме того, численный анализ показывает, что величина σmax существенно больше τmax для балок со сплошным сечением, у которых отношение длины l к высоте сечения h больше 5, т.е. l/h ≥5. Это позволяет в большинстве случаев пренебречь действием касательных напряжений и при расчете на прочность учитывать только действие нормальных напряжений.
Принимают, что разрушение балки наступит при достижении максимального нормального напряжения σmax предельного значения σпред характерного для данного материала.
Условие разрушения имеет вид:
Наибольшее действующее нормальное напряжение определяют для слоя наиболее удаленного от нейтральной оси по формуле:
, где:
Mzс- изгибающий момент,
Wzс – момент сопротивления изгибу.
В качестве предельного напряжения принимают:
Условие разрушения записывают как для точек сечения подвергнутых действию максимальных растягивающих напряжений, так и для точек в которых возникают максимальные сжимающие напряжения.
При проектировочном расчете записывают условие прочности:
, где
[σ] - допускаемое значение нормальных напряжений.
Если ввести коэффициент запаса прочности n ,то допускаемое напряжение:
Такие материалы как древесина имеют малое сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких балок касательные напряжения могут оказаться более опасные, чем нормальные. Учет касательных напряжений может также оказаться необходимым при расчете элементов конструкции из пластиков, армированных высокопрочным волокном.
Условие прочности по сдвигу имеет вид:
.
Максимальное касательное напряжение определяют для слоя расположенного на нейтральной оси по формуле Журавского:
, где
Qy- перерезывающая сила,
S zс max- максимальный статический момент части сечения до нейтральной оси;
Izс- осевой момент инерции сечения,
b- ширина сечения по нейтральной оси.
Допускное напряжение [τ] определяют:
, где
nτ - запас прочности по сдвигу.
Предельное касательное напряжение:
Пример 10.7
Подобрать двутавровое сечение балки (рис. 10.13) при допускаемых напряжениях [σ]=140 МПа и [τ]=70 МПа, если изгибающий момент Mz =40 кНм, и поперечная сила Qy=6 кН. При подборе принять: высоту стенки h= 1,5b, толщину стенки tст=0,02 b, толщину полки tп=0,1 b.
Рисунок 10.13
Решение.
Определим размер b из условия прочности по нормальным напряжениям:
Момент инерции сечения Izc относительно главной центральной оси zc :
Момент сопротивления сечения Wzc:
Подставим в условие прочности:
, откуда
b≥0,126 м
Запишем условие прочности по сдвигу:
Вычислим максимальный статический момент:
Подставим в условие прочности:
, откуда
b≥0,0775 м
Выбираем наибольшее значение b=0,126 м.
Пример 10.8
Определить избытки прочности сечения крыла самолета (рис. 10.14) нагруженного изгибающими моментами Mz = 150 кНм , My = 35 кНм. Считать, что изгибающие моменты воспринимаются поясами лонжеронов, стрингерами и прилегающими эффективными частями обшивки и стенок лонжеронов, площади поперечных сечений и координаты которых приведены в таблице 10.1. Допускаемые напряжения на растяжение [σ]р=300 МПа, а на сжатие [σ]сж=-350 МПа.
Рисунок 10.14
Решение.
1. Расчетное сечение представим в виде площадей сосредоточенных в центрах тяжести поясов лонжеронов, стрингеров и прилегающих эффективных частей обшивки и стенок лонжеронов, каждое из которых характеризуется площадью Fi, которая складывается из площади стрингера (пояса лонжерона) Fстр i и эффективной площади обшивки (стенки лонжерона) Fобш i . Также зададим координаты центров тяжести стрингеров (поясов лонжеронов) zi и yi в выбранной системе координат “z-y” (рис. 10.15).
Рисунок 10.15
Геометрические характеристики представлены в таблице 10.1.
В таблице также приведены результаты расчетов осевых моментов инерции Iz, Iy и центробежного момента Izy.
Таблица 10.1
№ |
Fi, мм2 |
yi, мм |
zi, мм |
Fi yi мм3 |
Fi yi2 мм4 |
Fi zi мм3 |
Fi zi2 мм4 |
Fiziyi мм4 |
1 |
420 |
140 |
-3 |
58800 |
8232000 |
-1260 |
3780 |
-176400 |
2 |
230 |
150 |
144 |
34500 |
5175000 |
33120 |
4769280 |
4968000 |
3 |
230 |
149 |
284 |
34270 |
5106230 |
65320 |
18550880 |
9732680 |
4 |
230 |
141 |
428 |
32430 |
4572630 |
98440 |
42132320 |
13880040 |
5 |
230 |
128 |
569 |
29440 |
3768320 |
130870 |
74465030 |
16751360 |
6 |
230 |
112 |
711 |
25760 |
2885120 |
163530 |
116269830 |
18315360 |
7 |
410 |
90 |
907 |
36900 |
3321000 |
371870 |
337286090 |
33468300 |
8 |
490 |
-213 |
907 |
-104370 |
22230810 |
444430 |
403098010 |
-94663590 |
9 |
140 |
-216 |
706 |
-30240 |
6531840 |
98840 |
69781040 |
-21349440 |
10 |
140 |
-216 |
574 |
-30240 |
6531840 |
80360 |
46126640 |
-17357760 |
11 |
140 |
-211 |
424 |
-29540 |
6232940 |
59360 |
25168640 |
-12524960 |
12 |
140 |
-203 |
277 |
-28420 |
5769260 |
38780 |
10742060 |
-7872340 |
13 |
140 |
-191 |
142 |
-26740 |
5107340 |
19880 |
2822960 |
-3797080 |
14 |
450 |
-165 |
-3 |
-74250 |
12251250 |
-1350 |
4050 |
222750 |
|
3620 |
|
|
-71700 |
97715580 |
1602190 |
1,151E+09 |
-60403080 |
2. Определим положение центра тяжести, используя данные таблицы 10,1.
3. Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:
Iz=0,9771558×10-4 м4,
Iy= 1,151×10-3 м4.
Центробежный момент инерции относительно осей z и y:
Iyz= -0,6040308×10-4 м4.
4. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные моменты инерции сечения Izc, Iyc, Iyc zc:
Izc = Iz - yc2 F = 0,9771558×10-4-(-0,0198)20,36210-2= 9,63010-5 м4,
Iyc = Iy - zc2 F=1,151×10-3–(0,4426)2 0,36210-2 = 4,42110-4 м4,
Iyczc=Izy-zcycF=-0,6040308×10-4 (0,4426(-0,0198) 0,36210-2)= м4.
5. Напряжение в любой точке сечения определим по формуле:
, где
k1= Izcyc/(IzcIyc-Izcyc2)
k2= Iyc/(IzcIyc-Izcyc2)
k3= Izc/(IzcIyc-Izcyc2).
Вычислим коэффициенты k1, k2, k3:
k1= -2,86710-5/(9,63010-54,42110-4–(-2,86710-5)2)=-2,86710-5/4,17510-8= ‑6,867102 м-4
k2= 4,42110-4/4,17510-8=1,059104 м-4
k3= 9,63010-5/ 4,17510-8 =2,306103 м-4
После подстановки и преобразования получим соотношение для определения изгибных напряжений:
=-((2,3061033510-3-(‑6,867102)15010-3) (z-zc)-((1,059104)15010-3-(‑6,867102)3510-3) (y-yc) )= -183,7 (z-zc)-1612(y-yc) МПа
Используя полученную зависимость, вычислим напряжения в элементах. Результаты вычислений приведены в таблице 10.2. В этой же таблице приведены избытки прочности, которые определены используя соотношение:
Таблица 10.2
№ |
yi, м |
zi, м |
yi-yc, м |
zi-zc, м |
σ Мпа |
ησ |
1 |
140 |
-3 |
1,60E-01 |
-4,456E-01 |
-175,8 |
1,99 |
2 |
150 |
144 |
1,70E-01 |
-2,986E-01 |
-218,9 |
1,60 |
3 |
149 |
284 |
1,69E-01 |
-1,586E-01 |
-243,0 |
1,44 |
4 |
141 |
428 |
1,61E-01 |
-1,459E-02 |
-256,6 |
1,36 |
5 |
128 |
569 |
1,48E-01 |
1,264E-01 |
-261,5 |
1,34 |
6 |
112 |
711 |
1,32E-01 |
2,684E-01 |
-261,8 |
1,34 |
7 |
90 |
907 |
1,10E-01 |
4,644E-01 |
-262,4 |
1,34 |
8 |
-213 |
907 |
-1,93E-01 |
4,644E-01 |
226,2 |
1,46 |
9 |
-216 |
706 |
-1,96E-01 |
2,634E-01 |
267,9 |
1,23 |
10 |
-216 |
574 |
-1,96E-01 |
1,314E-01 |
292,2 |
1,13 |
11 |
-211 |
424 |
-1,91E-01 |
-1,859E-02 |
311,7 |
1,06 |
12 |
-203 |
277 |
-1,83E-01 |
-1,656E-01 |
325,8 |
1,01 |
13 |
-191 |
142 |
-1,71E-01 |
-3,006E-01 |
331,3 |
1,00 |
14 |
-165 |
-3 |
-1,45E-01 |
-4,456E-01 |
316,0 |
1,04 |