1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)

Критерий максимальных касательных напряжений основывается на предположении, что . При испытании образцов материала на кручение получено: τ_тр = 0,577σ_тр. Это показывает, что критерий максимальных касательных напряжений не достаточно точен, кроме того, в нем не учитывается действие σ₂ и μ.

Критерий энергии сдвига предполагает, что текучесть наступит, когда в единице объема элемента конструкции энергия сдвига u_с достигнет величины энергии сдвига u_со, которая достигается в образце из того же материала, что и элемент конструкции при его одноосном растяжении до предела текучести.

Таким образом, условие текучести можно записать:

u_с = u_со (1)

Энергию деформации сдвига u_с вычислим как разность суммарной энергии деформации u и энергии деформации u_p, вызванной всесторонним растяжением средним (гидростатическим) напряжением :

u_с = u - u_p (2)

Суммарная энергия деформации в единице объема:

(3)

Подставим в выражение (3) значение p, получим выражение энергии деформации, вызванной всесторонним растяжением:

(4)

Подставим (3) и (4) в соотношение (2) и учитывая, что , после преобразований получив выражение энергии деформации сдвига:

(5)

Так как при одноосном растяжении образца до предела текучести σ₁ = σ_тр, σ₂ = σ₃ =0, то подстановкой σ₁, σ₂, σ₃ в выражение (5) получим энергию деформации сдвига:

(6)

Подставим выражения (5) и (6) в соотношение (1) после преобразований получим условие текучести:

Эквивалентное напряжение:

σ_экв=

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

(7)

Учитывая, что для бруса в опасном сечении действуют нормальных напряжений σ и касательных напряжений τ_max, тогда главные напряжения:

(8)

Подставим выражение (8) в соотношение (7) после преобразований получим условие текучести для бруса:

Эквивалентное напряжение для бруса:

σ_экв=

1.7 Критерий интенсивности напряжений

Рассмотрим напряженное состояние на площадке, наклоненной под углами 45 к граням единичного параллелепипеда (рис. 9.2)

Рисунок 9.2

В этом случае на наклонной площадке действуют так называемые октаэдральные нормальные напряжения σ_oct и октаэдральные касательные напряжения τ_oct:

(1)

Критерий интенсивности напряжений предполагает, что текучесть наступит при достижении октаэдрального касательного напряжения τ_oct на наклонной площадке для трехосного напряженного состояния величины октаэдрального касательного напряжения τ_{oct об}, возникающем в образце из того же материала при его нагружении одноосным растяжением до предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид:

τ_oct = τ_{oct об} (2)

Так как при одноосном растяжении образца до предела текучести σ₁ = σ_тр, σ₂ = σ₃ =0, то подстановкой σ₁, σ₂, σ₃ в выражение (1) получим октаэдральное касательное напряжение τ_{oct об}, возникающем в образце при одноосном растяжении до предела текучести:

(3)

Подставим выражения (1) и (3) в соотношение (2) и после преобразований, получим условие текучести:

Можно заметить, что условие текучести по критерию интенсивности напряжений совпадает с условие текучести по критерию максимальной энергии деформации сдвига.

Эквивалентное напряжение σ_экв, которое носит название интенсивности напряжений σ_и:

σ_экв= σ_и =

Часто напряженное состояние в окрестности наиболее напряженной точки задано в виде компонент нормальных и касательных напряжений (рис. 9.3).

Рисунок 9.3

В этом случае условие текучести приобретает вид:

Интенсивность напряжений:

σ_и=