Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сопротивление материалов конструкций ЛА.docx
Скачиваний:
252
Добавлен:
12.11.2019
Размер:
10.44 Mб
Скачать

5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны

Некоторое влияние на распределение напряжений в сечении бруса и его деформации при изгибе оказывает кривизна оси бруса. Однако, как показали исследования, это влияние становится значительным только при отношении радиуса кривизны оси ρ к высоте h соответствующего поперечного сечения бруса меньше 5. Такой брус называют брусом большой кривизны, или просто кривым брусом. В стержневых системах элементы типа бруса большой кривизны встречаются крайне редко.

В брусе малой кривизны (ρ/h < 5) влияние кривизны оси на напряжения и деформации незначительно, и поэтому расчет таких брусьев на изгиб с достаточной точностью можно производить по формулам для прямого бруса.

Рисунок 7.23

Если при определении внутренних силовых факторов в качестве осей y и z выбрать главные центральные оси инерции сечения (рис. 7.23), то напряжения в сечении бруса малой кривизны можно вычислить по следующим формулам.

Нормальные напряжения σ:

, где

N – нормальная сила;

My, Mz – изгибающие моменты;

Iz, Iy – главные центральные моменты инерции сечения.

Касательные напряжения для сплошного сечения τxy, τxz:

, , , где

Qy, Qz – перерезывающие силы;

Szотс , Syотс – статические моменты отсеченных частей сечения;

b(y), b(z) – ширина сечения;

Wкр – момент сопротивления кручению;

Mx – крутящий момент.

Касательные напряжения для тонкостенного сечения τ:

, где

δ – толщина сечения.

6. Перемещения сечений пространственного бруса

Определение перемещений конструкции важно по двум причинам:

- знание характеристик деформирования при нагружении самолета имеет первостепенное значение при изучении влияния упругости конструкции на характеристики самолета;

- вычисление перемещений необходимо при определении внутренних силовых факторов в составных конструкциях с избыточными элементами.

При определении перемещений сечений пространственного бруса необходимо рассматривать общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях одновременно возникают нормальные и перерезывающие силы, а также крутящие и изгибающие моменты. В этом случае направление полного перемещения рассматриваемого сечения заранее неизвестно, поэтому вначале определяют проекцию этого перемещения на некоторое выбранное направление, и обозначается δik. Индекс i показывает, перемещение какого сечения и в каком направлении определяется, а индекс k обозначает причину, вызвавшую это перемещение. Если требуется определить полное перемещение δ, то вначале вычисляют проекции перемещения на три взаимно перпендикулярных направления (направления главных центральных осей y и z сечения и касательной к оси x бруса), а затем определяют искомое перемещение:

.

Наиболее просто перемещения находятся при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса.

6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения

Для определения потенциальной энергии выделим из бруса элементарный участок длиной dx (рис. 7.24). Брус может быть не только прямым, но иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы.

По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке бруса.

Рисунок 7.24

Потенциальную энергию определим при следующих допущениях:

а) брус подвергается упругому деформированию;

б) точка приведения сил вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа;

в) каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает; потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов, т. е., иначе говоря, как сумма энергии кручения, изгиба, растяжения и сдвига:

dU = dU(Mx) + dU(My) + dU(Mz) + dU(N) + dU(Qz) + dU(Qy)

г) оси z и у являются главными центральными осями поперечного сечения бруса.

В общем случае для сложного напряженного состояния упругая потенциальная энергия в единице объема определяется выражением:

U0 = (1/(2E)) [σx2 + σy2+ σz2 - 2μx σy + σx σz + σy σz )] + (1/(2G)) (τyz2 + τxy2 + τxz2)

Для того чтобы получить потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение U0 следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела:

В случае одноосного растяжения в сечении возникает только один силовой фактор‑нормальная сила N, которая обусловлена действием нормальных напряжений σx. Остальные компоненты напряжений σy = σz = τyz = τxy = τxz = 0. Потенциальная энергия dU(N) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

Учитывая, что , то после подстановки получим:

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(1)

При кручении в сечении бруса возникает крутящий момент, который обусловлен действием касательных напряжений τ. При этом остальные компоненты напряжений σx = σy = σz = τyz = 0. Потенциальная энергия dU(Mx) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

Учитывая, что и , то после подстановки получим:

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(2)

В случае поперечного изгиба в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты My, Mz, которые обусловлены действием нормальных напряжений σx, и перерезывающие силы Qy, Qz, которые обусловлены действием касательных напряжений τxy, τxz. Учитывая, что σy = σz = τyz = 0, потенциальная энергия dU(My) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

dU = dU(My) + dU(Mz) + dU(Qz) + dU(Qy) = (3)

Нормальные напряжения от действия изгибающих моментов My, Mz соответственно:

, (4)

Касательные напряжения от действия перерезывающих сил Qy, Qz определим по формуле Журавского:

, (5)

Подставим соотношения (4) и (5) в выражение (3), получим выражение потенциальной энергии в элементарном объеме при поперечном изгибе:

,

здесь ky, kz – коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения касательных напряжений по сечению при изгибе.

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(6)

Просуммировав соотношения (1), (2) и (6), получим выражение потенциальной энергии пространственного бруса: