- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
В произвольном месте по длине балки, на уровне y от нейтрального слоя балки, выделим бесконечно малый элемент (рис. 3.71а).
Рисунок 3.71
При плоском прямом изгибе по вертикальным граням будут действовать нормальные и касательные напряжения . По горизонтальным граням будут действовать только касательные напряжения, так как согласно исходному предположению, продольные волокна не оказывают давления друг на друга. Фасадные грани от напряжений свободны. Следовательно, здесь имеет место плоское напряженное состояние. Главные напряжения и угол наклона главных площадок могут быть найдены с помощью круга Мора или по зависимостям:
Круг Мора для элемента, изображенного на рис. 3.71в, построен на рис. 3.71б.
Перемещая элемент от крайнего верхнего до крайнего нижнего волокна балки, будем получать различные виды напряженного состояния и различные по величине и направлению главные напряжения (рис. 3.72).
Рисунок 3.72
В крайнем верхнем положении:
Следовательно, здесь имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное растяжение). Следует отметить, что вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение 1 действует параллельно нейтральному слою. Напряжения по наклонным площадкам определяются так же как в случае растяжения.
У нейтрального слоя: σ=0, тогда:
Следовательно, здесь имеет место чистый сдвиг: 1 и 3 действуют под углом 45° к нейтральному слою.
В крайнем нижнем положении:
Следовательно, здесь имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное сжатие); при этом вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение 3 действует параллельно нейтральному слою.
В промежуточных точках сечения, расположенных ниже нейтральной оси имеет место плоское напряженное состояние, аналогичное напряженному состоянию, изображенному на рисунке 3.71 с той лишь разницей, что напряжения σ являются сжимающими.
5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
При поперечном изгибе балки тонкостенного профиля в ее сечениях преобладающим остаются нормальные напряжения, которые в основном определяют прочность балки. Нормальные напряжения можно вычислить по тем же формулам, что для балок сплошного сечения:
, ,
Однако для тонкостенной балки в отличие от балки сплошного сечения существенное значение приобретают также величина и распределение касательных напряжений. Для определения касательных напряжений в поперечном сечении тонкостенной балки принимают допущение, что касательные напряжения τ направлены по касательной к средней линии сечения и по толщине δ распределены равномерно (рис. 3.73).
Рисунок 3.73
Выделим из тонкостенной балки (3.74а) элементарный участок длиной dx и приложим усилия, действующие со стороны отброшенной части (рис. 3.74б).
Рисунок 3.74
Составим уравнение равновесия:
Σx =σ×s×δ – (σ+dσ)×s×δ+τ×δ×dx=0, откуда:
(1)
Продифференцируем выражение для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе: , получим:
Подставим в выражение (1), получим:
Так как Fотс y = Szотс, окончательно получим:
В этой формуле, как и в формуле Журавского, под Qy понимается поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно главной центральной оси z и параллельно главной центральной оси y; Szотс - статический момент отсеченной части сечения относительно главной центральной оси z; Iz – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси z.
Формулы определения касательных напряжений в сплошном сечении и тонкостенном сечении по внешнему виду похожи. Однако, если по формуле для сплошного сечения определяют только вертикальную составляющую вектора касательных напряжений τxy, действующую параллельно перерезывающей силе Qy, то формула для тонкостенного сечения определяет полный вектор касательных напряжений τ, действующий по касательной к средней линии тонкостенного сечения.
Если направление поперечной силы Q не совпадает с главной центральной осью сечения, тогда касательные напряжения τ можно вычислить:
, где
Qy, Qz – составляющие поперечной силы по главным центральным осям y и z.
Пример 3.10
Построить эпюру касательных напряжений в балке тонкостенного сечения при ее поперечном изгибе, при условии, что в поперечном сечении возникает перерезывающая сила Qy=qa (рис. 3.75a).
Решение.
1. Касательные напряжения вычислим по формуле:
2. Главный центральный момент инерции сечения Iz:
(3)
3. Обозначим потоки касательных усилий на каждом из прямолинейных участков (рис. 3.75б). Направление потока выбираем таким образом, чтобы их направление их суммы совпадало с направлением перерезывающей силы.
Рисунок 3.75
4. Пронумеруем характерные точки сечения, в которых происходит перелом средней линии. В пределах каждого из участков введем местную координату t, которой обозначим расстояние от начала участка до текущей точки сечения (рис. 3.75в). В силу симметрии сечения, рассматриваем только верхнюю часть сечения. Запишем выражения статического момента S на участках средней линии сечения и вычислим значения в характерных точках:
5. Запишем выражения τ на участках средней линии и вычислим значения τ в граничных точках:
6. Построим эпюру касательных напряжений τ (рис. 3.75г).