2.2. Внутренне статически неопределимые рамы

Рассмотрим теперь раму, в которой избыточными являются только внутренние связи (рис. 8.6)

Рисунок 8.6

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×0 - 2×0 - 3= -3

Следовательно, заданная рама внутренне трижды статически неопределима.

Построим основную систему (рис. 8.7) путем удаления внешней нагрузки и введения разреза рамы.

Рисунок 8.7

Для получения эквивалентной системы (рис. 8.8) добавим к основной системе внешнюю нагрузку и неизвестные внутренние усилия X₁, X₂, X₃, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют относительным линейным перемещениям и повороту смежных сечений рамы в разрезе.

Рисунок 8.8

В действительности разрез отсутствует и поэтому относительные перемещения двух смежных сечений эквивалентной системы от совместного действия заданной нагрузки и силовых факторов X₁, X₂, X₃ должны быть равны нулю. Как и в случае, внешне статически неопределимых систем, запишем условия равенства нулю относительных перемещений смежных сечений в разрезе эквивалентной системы в виде канонических уравнений:

δ_1P + δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ₁₃X₃ = 0

δ_2P + δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ₂₃X₃ = 0 (4)

δ_3P + δ₃₁X₁ + δ₃₂X₂ + δ₃₃X₃ = 0

Канонические уравнения совместимости перемещений для внутренне статически неопределимых систем отличаются от аналогичных уравнений для внешне статически неопределимых систем только тем, что в первом случае коэффициенты уравнений представляют собой относительные перемещения двух смежных сечений в месте разреза, а во втором случае - это абсолютные перемещения сечений по направлению внешней связи.

2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Коэффициент δ_ik это перемещение по на правлению i-ro силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k‑ый фактор. Например, коэффициент δ₃₁ уравнения (4) представляет собой взаимный поворот смежных сечений в разрезе, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил в смежных сечениях были бы приложены только единичные усилия по направлению неизвестного усилия X₁ (рис. 8.9).

Рисунок 8.9

Таким образом, коэффициенты канонических уравнений δ_ik можно вычислить с помощью интеграла Мора. Для того чтобы определить величину δ_ik, в интеграле Мора следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й силовой фактор. Поэтому для плоской рамы внутренние моменты и силы от внешних нагрузок М_z, N, Q_y и Q_z в интеграле Мора заменим на М_zk, N_k, Q_yk и Q_zk, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного, k-ro фактора. В итоге получим:

где М_zi, N_i, Q_yi и Q_zi — внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-ro единичного фактора. Таким образом, коэффициенты δ_ik получаются как результат перемножения i‑ro и k-того внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то δ_ik представляет собой результат перемножения i-x единичных эпюр на k-e единичные эпюры.

Таким образом, вычисления начинаются с определения внутренних силовых факторов и построения эпюр этих факторов отдельно от заданной нагрузки и единичных усилий, приложенных вместо искомых усилий Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n. Силовым факторам и их эпюрам от единичного усилия приписывается номер i соответствующего усилия X_i, а у силовых факторов от заданной нагрузки проставляется индекс Р. Эпюры от заданных нагрузок называются основными, а от единичных усилий‑единичными.

Для определения коэффициентов канонических уравнений надо вычислить интегралы Мора от произведения ранее найденных внутренних силовых факторов с номерами, соответствующими индексам у этих коэффициентов, или перемножить по правилу Верещагина эпюры этих факторов с теми же номерами.

При определении коэффициентов δ_iP перемножаются внутренние силовые факторы (или их эпюры) от заданной нагрузки и от соответствующего единичного усилия с индексом i.

Для побочных коэффициентов δ_ik и δ_ki интегралы Мора отличаются только последовательностью сомножителей с индексами i и к. Но от перестановки сомножителей величины интегралов не изменяются, поэтому всегда:

δ_ik = δ_ki

Отметим, что главные коэффициенты δ_ii всегда отличны от нуля и положительны, а побочные коэффициенты δ_ik и свободные члены δ_iP могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.