- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
При кручении бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины применяют приближенный метод, в основе которого лежит замена участка профиля участком сечения в виде вытянутого прямоугольника. Рассмотрим кручение винта самолета (рис. 3.56).
Рисунок 3.56
Предполагая, что поперечное сечение винта состоит из вытянутых прямоугольников шириной ds и высотой δ(s), геометрическая жесткость на кручение будет равна:
Интегрирование ведется вдоль средней линии профиля. Касательные напряжения τ и относительный угол поворота θ можно вычислить по формулам, полученным выше для тонкостенного открытого профиля:
τ(s) = (Mx δ(s))/Iкр
θ = Mx/(G Iкр)
4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
Рассмотрим кручение бруса тонкостенного поперечного сечения состоящего из нескольких участков различной толщины (рис. 3.57).
Рисунок 3.57
Крутящий момент, возникающий в сечении Мx можно представить как сумму крутящих моментов в возникающем в каждом отдельном участке сечения Мxi:
Мx = , где n – число участков.
Из формул для сечения в виде вытянутого прямоугольника:
θ = Mx/(G Iкр),
Iкр = (1/3) δ3h,
крутящий момент на каждом участке:
Мxi = (1/3)θGδi3hi (1)
Учитывая, что относительные углы поворота всех частей сечения одинаковые и равны θ, определяем:
, откуда:
(2)
Согласно формулам:
τ = (Mx δ)/Iкр),
Iкр = (1/3) δ3h,
касательное напряжение на каждом участке равны:
(3)
Подставим в формулу (1) выражение (2) , получим, что крутящий момент на каждом участке:
(4)
Подставим (4) в формулу (3) получим касательное напряжение на каждом участке:
Максимальное касательное напряжение:
4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
Касательные напряжения τ, относительные углы закручивания θ и абсолютные углы поворота сечения φ изменяются по длине стержня и являются функцией положения сечения.
Максимальные касательные напряжения τmax, относительные углы закручивания θ и углы поворота φ при кручении брусьев с произвольным сечением вычисляют по формулам:
τmax = Mx/Wкр
θ = Mx /(GIкр)
где Wкр - момент сопротивления сечения кручению;
Iкр – геометрическая жесткость на кручение;
G – модуль упругости при сдвиге;
l –длина участка стержня.
Значения Iкр и Wкр для наиболее распространенных типов сечений приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Сечение |
Iкр |
Wкр |
||||
Сплошные сечения |
Колцевой профиль |
|
|
|
||
Прямоугольный профиль |
|
|
|
|||
Профиль переменной толщины |
|
|
|
|||
Тонкостенные сечения |
Открытый профиль |
|
|
|
||
Составной профиль |
|
|
|
|||
Замкнутый профиль |
|
|
|
Также как и для растяжения или сжатия графики функций τmax(х), θ(х) и φ(х) представляют в виде эпюр. Все эпюры строят на одном чертеже под расчетной схемой бруса. Оси абсцисс для эпюр проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения максимальных касательных напряжений, относительных и абсолютных углов поворота. При построении эпюр пользуются следующими правилами.
1. На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется форма или размер поперечного сечения, либо изменяется нагрузка. Нумерацию начинают со свободного сечения бруса.
2. На каждом участке бруса, ограниченном двумя характерными сечениями отмечают сечение, отстоящее на произвольном расстоянии х от начала участка и для него записывают выражение крутящего момента, по правилам, которые изложены в параграфе 3.3 главы 2.
3. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение τmax. Строят эпюру, разделив ординаты эпюры крутящих моментов Мx на момент сопротивления сечения Wкр. На эпюре будут скачки, как в сечениях где приложены сосредоточенные моменты Мx, а также в сечениях где происходит ступенчатое изменение момента сопротивления кручению Wкр.
4. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение относительного угла закручивания θ(x). Строят эпюру, разделив ординаты эпюры Мx на жесткость сечения на кручение GIкр.
5. Для каждого участка записывают аналитическое выражение углов поворота сечений бруса φ(х). Углы поворота сечений бруса вычисляют относительно неподвижного сечения (заделки). Между абсолютными углами поворота φ(х) и относительными углами закручивания θ(x) существует интегральная зависимость, следовательно, эпюра φ(х) ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени эпюры θ(x), а угол поворота φ(х) любого сечения относительно неподвижной заделки равен площади эпюры θ(x) на интервале от неподвижного сечения до рассматриваемого. В сечениях, где θ(x) =0 на эпюре φ(х) будет экстремум; в сечениях, где на эпюре θ(x) скачок на эпюре φ(х) будет перелом. Характерной особенностью эпюры углов поворота φ(х) является отсутствие на ней скачков.
Пример 3.7
Для заданного ступенчатого вала круглого сечения (рис. 3.58а) построить эпюры крутящих моментов M, максимальных касательных напряжений τmax, относительных углов закручивания θ, улов поворота сечений .
Рисунок 3.58
Решение.
1. Освободим вал от заделок и заменим их действие неизвестными крутящими моментами M1 и M5 (рис. 3.58б). Запишем уравнение равновесия:
Σmomx=M1-M-4M+M5=0
Система один раз статически неопределима, так как число неизвестных превышает на единицу число независимых уравнений равновесия.
2. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность поворота торцевых сечений друг относительно друга:
1-5 = 1-2+2-3+3-4+4-5=0 (1)
Запишем выражения для углов поворота концевых сечений в пределах каждого участка:
1-2= (M1-22a)/(GIкр1-2)
2-3= (M2-3a)/(GIкр2-3)
3-4= (M3-4a)/(GIкр3-4)
4-5= (M4-52a)/(GIкр4-5), где
Iкр1-2 = Iкр2-3 =0,1d4
Iкр3-4 = Iкр4-5 =0,1(2d)4
Крутящие моменты на каждом участке:
M1-2(x) = -M1
M2-3(x) = -M1+M
M3-4(x) = -M1+M
M4-5(x) = -M1+M+4M
Подставим в уравнение совместимости (1):
(-M12a)/(G0,1d4)+((-M1+M)a)/(G0,1d4)+((-M1+M)a)/(G1,6d4)+((-M1+5M)2a)/ (G1,6d4) = 0, откуда
M1= (9/17)М
3. Крутящие моменты:
M1-2(x) = -(9/17)М
M2-3(x) = (8/17)М
M3-4(x) = (8/17)М
M4-5 = (76/17)М
Построим эпюру крутящих моментов М (рис. 3.58в).
4. Максимальные касательные напряжения:
τmax1-2(x) = M1-2(x)/Wкр1-2= ≈
τmax2-3(x) = M2-3(x)/Wкр2-3= ≈
τmax3-4(x) = M3-4(x)/Wкр3-4= ≈
τmax4-5(x) = M4-5(x)/Wкр4-5= ≈
Построим эпюру максимальных касательных напряжений (рис. 3.58г).
5. Относительные углы закручивания:
θ1-2(x) = M1-2(x)/(GIкр1-2)= ≈
θ2-3(x) = M2-3(x)/(GIкр2-3) = ≈
θ3-4(x) = M3-4(x)/(GIкр3-4) = ≈
θ4-5(x) = M4-5(x)/(GIкр4-5) = ≈
Построим эпюру относительных углов закручивания θ (рис. 3.58д).
6. Углы поворота сечений:
, 1=0, 2(2a) =
, 3(a) =
, 4(a)=
, 5(2a)0.
Построим эпюру углов поворота сечений (рис. 3.58е).