7. Моменты инерции составных сечений

Для определения момента инерции составных сечений выполняют процедуру, которая включает следующие этапы.

1. Заданную сложную фигуру поперечного сечения разбивают на n простейших, для которых в предыдущем параграфе определены моменты инерции.

2. Определяют положение центра тяжести сложного сечения, используя зависимости:

,

3. Определяют собственные осевые моменты инерции отдельных частей сечения относительно их центральных осей. Наиболее распространенные формулы вычисления характеристик сечения для простейших фигур приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

№	Сечение	Характеристики сечения
1	Прямоугольник	yc = h/2 zc = b/2 F = bh ,
2	Параллелограмм	yc = h/2 F = bh
3	Треугольник	yc = h/3 F = bh/2
4	Круг	F = πr2
5	Полукруг	F = πr2/2 yc = 0,424r Izc = 0,1098r4
6	Четверть круга	F = πr2/4
7	Кольцо	F = π (r12 - r22)
8	Тонкостенное кольцо	F = 2π δ
9	Тонкостенное полукольцо	F = π δ

4. Вычисляют осевые моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно заданной оси при помощи зависимостей изменения момента инерции в случае параллельного переноса осей:

I_{z i}= I_{zc i} + y_{c i}² F_i

I_{y i}= I_{yc i} + z_{c i}² F_i

5. Вычисляют центробежные моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно центральных осей составного сечения I_{zc yc i} по формулам, приведенным в таблице 5.2.

6. Алгебраическим суммированием моментов инерции простейших фигур определяют осевые моменты инерции сложного поперечного сечения относительно заданной оси I_z, I_y и центробежный момент инерции относительно центральной оси I_{zc yc}:

I_z= I_{z i} , I_y= I_{y i}, I_{zc yc} =  I_{zc yc i}

7. Определяют осевые моменты инерции сложного поперечного сечения относительно центральных осей I_zc, I_yc:

I_zc = I_z - y_c² F, I_yc = I_y - z_c² F

8. Определяют угол наклона главных центральных осей:

9. Определяют главные центральные моменты инерции составного сечения:

Пример 5.2.

Задано поперечное сечение балки, представленное на рисунке 5.13.

Определить координаты центра тяжести y_c, z_c, моменты инерции I_y, I_z, I_zy, угол поворота главных центральных осей α, главные центральные моменты инерции I_zc, I_yc.

Рисунок 5.13

Решение.

1. Разбиваем поперечное сечение на три прямоугольника (рис. 5.14).

Рисунок 5.14

2. Определим положение центра тяжести. Вычисления проводим в форме таблицы 5.3.

Таблица 5.3

Участок	F, м2	y, м	z, м	F y, м3	F z, м3
1	0,015	0,2125	0,3	3,18810-3	4,510-3
2	210-3	0,1	0,3	210-4	6 10-4
3	1,210-3	7,510-3	0,345	910-6	4,14 10-4
Сумма	0,0182			3,39710-3	5,514 10-3

Из таблицы:

3. Вычисляем осевые моменты инерции в форме таблицы 5.4. Собственные моменты инерции вычисляем по формулам для прямоугольника:

, ,

Таблица 5.4

Участок	F, м2	y, м	z, м	F y2, м4	F z2, м4	Iyci, м4	Izci, м4
1	0,015	0,2125	0,3	6,77310-4	1,3510-3	4,510-4	7,8110-7
2	210-3	0,1	0,3	210-5	1,810-4	1,6710-8	6,6710-6
3	1,210-3	7,510-3	0,345	6,7510-8	1,42810-4	6,410-7	2,2510-8
Сумма	0,0182			6,97410-4	1,67310-3	4,5110-4	7,4710-6

Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:

I_z= I_zc + y_c² F =7,47 10^-6 + 6,97410^-4 = 7,04910^-4 м⁴,

I_y= I_yc + z_c² F = 4,5110^-4 + 1,67310^-3 = 2,12410^-3 м⁴.

4. Центробежный момент инерции относительно центральных осей z_c и y_c:

I_{yс zс}=0,015(0,3-z_c)(0,2125-y_c)+210^-3(0,3-z_c)(0,1-y_c)+1,210^-3(0,345-z_c)

(7,510^-3-y_c)= -1,16610^-6+5,19610^-7-9,0210^-6 = -9,67310^-6 м⁴.

5. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные осевые моменты инерции сечения:

I_zc = I_z - y_c² F = 7,04910^-4 – 0,1866² 0,0182 = 7,11810^-5 м⁴,

I_yc = I_y - z_c² F= 2,12410^-3 – 0,303² 0,0182 = 4,53110^-4 м⁴.

6. Определим главные центральные моменты инерции сечения:

I₁ = 45,3 10^-5 м⁴,

I₂ = 7,1 10^-5 м⁴

6. Угол наклона главных центральных осей:

, откуда

α = -1,45

8. Круг инерции Мора (рис. 5.15):

Рисунок 5.15

Пример 5.3

На рисунке 5.16 приведено типовое сечение крыла, которое состоит из двух секций. Обшивка на верхней и нижней поверхности подкреплена z-образными стрингерами. Необходимо определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции.

Рисунок 5.16

Решение.

1. Расчетное сечение представим в виде площадей сосредоточенных в центрах тяжести стрингеров, каждое из которых характеризуется площадью F_i, которая складывается из площади стрингера F_{стр i} и эффективной площади обшивки F_{обш i} . Также зададим координаты центров тяжести стрингеров z_i и y_i в выбранной системе координат “z-y” (рис. 5.17)

Рисунок 5.17

Геометрические характеристики представлены в таблице 5.5.

В таблице также приведены результаты расчетов осевых моментов инерции I_z, I_y и центробежного момента I_zy.

Таблица 5.5

№	Fi, мм2	yi, мм	zi, мм	Fi yi мм3	Fi yi2 мм4	Fi zi мм3	Fi zi2 мм4	Fiziyi мм4
1	87,5	100	-828,8	0	0	0	0	0
2	87,5	150	-732	0	0	0	0	0
3	237,5	175	-621,2	0	0	0	0	0
4	106,2	184,2	-529,5	0	0	0	0	0
5	106,2	188,8	-415	0	0	0	0	0
6	106,2	187,5	-315	0	0	0	0	0
7	106,2	182,5	-215	0	0	0	0	0
8	106,2	172,5	-100	0	0	0	0	0
9	181,2	162,5	-8,8	0	0	0	0	0
10	106,2	-82,5	-831,2	0	0	0	0	0
11	106,2	-122,5	-657	0	0	0	0	0
12	175	-148,8	-621,2	0	0	0	0	0
13	193,8	-185	-467,5	0	0	0	0	0
14	193,8	-203,2	-310,5	0	0	0	0	0
15	193,8	-215,5	-152,5	0	0	0	0	0
16	218,8	-221,8	-8,8	0	0	0	0	0
	0			0	0	0	0	0

2. Определим положение центра тяжести, используя данные таблицы 5.5.

3. Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:

I_z=73311837 мм⁴,

I_y= 515535527,9 мм⁴.

Центробежный момент инерции относительно осей z и y:

I_yz= -6097010,3 мм⁴.

4. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные моменты инерции сечения I_zc, I_yc, I_{yc zc}:

I_zc = I_z - y_c² F = 73311837 – 10,04² 2312,3 = 7,310^-5 м⁴,

I_yc = I_y - z_c² F= 515535527,9 – (-389,9)² 2312,3 = 1,6410^-4 м⁴,

I_yczc= I_zy - z_c y_c F= -6097010,3 – ((-389,9) (-10,04)2312,3) = -1,5110^-5 м⁴.

5. Угол наклона главных центральных осей:

, откуда

α = -9,13

6. Определим главные центральные моменты инерции сечения:

I₁ = 16,64 10^-5 мм⁴, I₂ = 7,06 10^-5 мм⁴.