4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса

Угол закручивания определим энергетическим методом, согласно которому приравняем работу внешних сил dA потенциальной энергии деформации dU:

dA =dU

Рассмотрим деформированное состояние участка бруса длиной dx (рис. 3.47).

Рисунок 3.47

Так как материал бруса подчиняется закону Гука, то существует линейная зависимость между крутящим моментом M_x и углом закручивания dφ. В этом случае работа внешних сил будет равна:

dA = (1/2) M_xdφ

Потенциальная энергия деформации dU´, накопленная в элементарном объеме dV = δ(s)  ds  dx, равна:

dU´= (1/2) τ γ  dV = (1/2 (τ²/G)  δ(s)  ds  dx

Потенциальная энергия, накопленная во всей рассматриваемой части бруса:

dU=

Подставим и преобразуем:

Так как dA =dU, то:

(1/2)M_xdφ = ,

откуда относительный угол закручивания θ:

Введем обозначение:

- геометрическая жесткость на кручение, тогда:

θ=M_x/GI_кр

Абсолютный угол закручивания участка бруса длиной l:

При постоянной толщине тонкостенного сечения δ:

I_кр = (4F_к δ)/S, где:

S- длина средней линии сечения.

Если толщина изменяется по контуру сечения ступенчато, то:

, где:

n – число ступеней изменения толщины.

Пример 3.5

Лонжерон несущего винта вертолета представляет собой тонкостенную трубу постоянного поперечного сечения (рис 3.48). Длина лонжерона l= 4 м. Толщина сечения на криволинейном участке δ=1,5мм, толщина вертикальной стенки δ₁=2,5мм. Длина средней линии сечения трубы на криволинейном участке S= 0.95 м, площадь ограниченная средней линией сечения F_к=0,03 м². Труба выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости на сдвиг G=27,7 10³ МПа. Лонжерон скручивается моментом M_x=7000 Нм. Определить погонное касательное усилие q касательные напряжения в трубе τ, относительный угол закручивания θ и угол поворота торцевых сечений трубы относительно друг друга φ.

Рисунок 3.48

Решение.

1. Касательные напряжения на криволинейном участке сечения τ:

2. Поток касательных усилий q:

q= τ×δ=77,8×1,5×10^-3=116,7 

3. Касательные напряжения на вертикальной стенке τ₁:

4. Геометрическая жесткость сечения на кручение I_кр:

4. Относительный угол закручивания θ:

5 Угол закручивания торцевых сечений относительно друг друга:

φ= θ×l=0,047×4× 10,83 град.

4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля

Поперечное сечение тонкостенных авиационных конструкций в ряде случаев, например, сечения крыла или фюзеляжа, имеют форму многосвязного сечения, т.е. сечение имеет не одну, а большое число полостей. В этом случае решение осложняется. Для определения напряжений и угла закручивания приходится решать систему линейных алгебраических уравнений; число уравнений равно числу внутренних полостей сечения. Рассмотрим кручение многосвязного профиля крыла, приведенного на рис. 3.49.

Рисунок 3.49

Схема расчета остается той же самой при любом числе внутренних полостей и форме сечения. На рисунке приведено сечение крыла, которое схематизировано тремя тонкостенными контурами. Введем обозначения:

F₁, F_2, F₃ – площади, ограниченные средними линиями контуров;

δ₁, δ₂, δ₃– толщины стенок контуров;

δ₁₂, δ₂₃- толщины стенок между контурами;

q_1, q₂, q₃ – потоки касательных напряжений в контурах.

Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, можно представить, как сумму трех потоков, каждый из которых охватывает один из контуров. Поток в каждой из внутренних стенок представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке:

q₁₂= q₁ – q₂,

q₂₃= q₂ – q₃.

Для решения задачи воспользуемся зависимостями для определения относительного угла закручивания и касательных напряжений при кручении бруса тонкостенного сечения:

M_x= τ(s)δ(s)2F_к =q(s)2F_к

После преобразований получим:

(1)

В силу совместности деформирования относительные углы закручивания каждого из контуров θ₁, θ₂ θ₃ равны между собой и равны относительному углу закручивания сечения в целом θ:

θ= θ₁= θ₂=θ₃

Применим соотношение (1) для каждого из контуров:

Дополним систему трех уравнений уравнением:

M_x = M_1x + M_2x + M_3x = 2q₁F₁ + 2q₂F₂ + 2q₃F₃, где:

M – полный скручивающий момент;

M_1x, M_2x, M_3x – моменты, передаваемые каждым из контуров.

Полученную систему уравнений преобразуем к виду:

2GF₁θ=(q₁ S_ABC)/δ₁ + ((q₁-q₂) S_CA)/δ₁₂

2GF₂θ=((q₁ - q₂) S_AC)/δ₁₂ + (q₂ S_CD+EA)/δ₂₄ + ((q₂-q₃) S_DE)/δ₂₃

2GF₃θ = ((q₂-q₃) S_ED)/δ₂₃ + (q₃ S_DHE)/δ₃₄

M_x = 2q₁ F₁ + 2q₂ F₂ + 2q₃ F₃, где

S_ABC, S_CA, S_CD+EA, S_DE, S_DHE – длины средних линий соответствующих контуров.

Решение полученной системы четырех уравнений позволяет определить неизвестные потоки касательных напряжений q₁, q₂, q₃ и относительный угол закручивания сечения θ.