1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)

Критерий предполагает, что текучесть наступит, когда энергия деформации u в единице объема, в окрестности наиболее нагруженной точки, достигнет величины, соответствующей энергии деформации u_то в единице объема образца, выполненного из того же материала при одноосном растяжении до предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид:

u = u_то (1)

Суммарная энергия деформации в единице объема при трехосном напряженном состоянии и упругом деформировании:

Учитывая, обобщенный закон Гука:

, получим:

(2)

При одноосном растяжении образца до предела текучести σ₁ = σ_тр, σ₂ = σ₃ = 0. Подставим эти значения в соотношение (2), получим:

(3)

Подставим выражения (2) и (3) в соотношение (1), получим условие текучести:

σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2μ(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₂σ₃) = σ_тр²

Эквивалентное напряжение:

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

σ₁² + σ₂² - 2μσ₁σ₂ = σ_тр²

1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)

Предыдущие три критерия не согласуются с экспериментом при всестороннем (гидростатическом) растяжении или сжатии. В случае всестороннего растяжения, т.е. при σ₁ = σ₂ = σ₃ = p :

а) по критерию максимальных главных напряжений текучесть наступит при p = σ_тр;

б) по критерию максимальной главной деформации текучесть наступит при ;

в) по критерию суммарной энергии деформации текучесть наступит при .

Эксперименты показывают, что образец хрупкого или пластичного материала, подверженного действию всестороннего растяжения (сжатия), не теряет упругих свойств до значений p значительно превышающих величин, вычисленным по приведенным соотношениям. Это противоречие позволило предположить, что не наступает при всестороннем растяжении (сжатии) из-за отсутствия касательных напряжений τ. Исходя из этого, можно предположить, что текучесть наступает при условии изменения формы объемом материала, а это возможно при действии касательных напряжений.

Итак, критерий максимальных касательных напряжений предполагает, что текучесть наступит, когда максимальное касательное напряжение в элементе конструкции τ_max достигнет предела текучести материала при растяжении τ_mр, т.е. условие текучести можно записать в виде:

τ_max = τ_mр (1)

Учитывая, что и приняв условие текучести (1) принимает вид:

σ₁ – σ₃ =σ_тр

Эквивалентное напряжение:

σ_экв=σ₁ – σ₃

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

σ₁- σ₂ = σ_тр (2)

При одновременном нагружении бруса изгибом, кручением, растяжением или сжатием в поперечных сечениях возникают как нормальные, так и касательные напряжения. В соответствии с теорией максимальных касательных напряжений можно ожидать, что текучесть наступит на площадке, на которой действуют максимальные касательные напряжения τ_max. При действии нормальных напряжений σ и касательных напряжений τ_max главные напряжения:

(3)

Подставим выражение (3) в соотношение (2) после преобразований получим условие текучести для бруса:

Эквивалентное напряжение:

σ_экв=