- •Предисловие
- •Оглавление
- •Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций
- •Глава 1. Основные определения и допущения
- •1.1. Общие принципы расчета на прочность
- •1.2 Понятие о расчетной схеме
- •1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов
- •1.4 Классификация внешних сил
- •1.5 Опорные устройства и их реакции
- •1.6. Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций
- •Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса
- •Раздел 1. Метод сечений
- •1.1. Внутренние силовые факторы
- •Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы
- •2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы
- •2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы
- •2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.1.3 Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы
- •2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса
- •2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса
- •2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса
- •2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты
- •3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса
- •3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса
- •3.3 Построение эпюр крутящих моментов
- •Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.1 Перерезывающие силы и изгибающие моменты
- •4.2 Дифференциальные зависимости при изгибе бруса
- •4.3 Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
- •Глава 3. Напряжения и деформации
- •Раздел 1 Напряженное состояние в точке
- •1.1 Закон парности касательных напряжений
- •1.2. Обобщенный закон Гука
- •1.3 Главные напряжения и главные площадки
- •1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора
- •1.5. Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
- •1.6. Определение компонент напряжений на площадке общего положения
- •1.7. Потенциальная энергия деформации
- •Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие
- •Историческая справка
- •2.1. Напряжения в поперечных сечениях бруса
- •2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
- •2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
- •Раздел 3. Сдвиг и срез
- •3.1. Чистый сдвиг
- •3.1.1. Связь между упругими константами материала e, g, и при чистом сдвиге
- •3.2. Касательные напряжения при срезе
- •Раздел 4. Кручение
- •Историческая справка
- •4.1. Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений
- •4.1.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.1.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.1.3. Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения
- •4.2. Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения
- •4.2.1. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса
- •4.2.2. Угол поворота поперечного сечения бруса
- •4.3. Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
- •4.4. Кручение бруса прямоугольного сечения
- •4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля
- •4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины
- •4.7. Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины
- •4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания
- •Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса
- •Историческая справка
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса
- •5.2. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского
- •5.3. Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса
- •5.4. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля
- •5.5. Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля
- •5.6. Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе
- •5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора
- •5.8. Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина
- •5.9. Расслоение эпюр
- •Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса
- •6.1. Напряжения относительно главных центральных осей сечения
- •6.2. Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения
- •Раздел 7. Концентрация напряжений
- •7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия
- •7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия
- •7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами
- •Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений
- •Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов
- •Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов
- •1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала
- •1.2. Пластические и хрупкие материалы
- •1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа
- •1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии
- •1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
- •Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости
- •2.1. Характеристики цикла нагружения
- •2.2. Базовая кривая усталости
- •Раздел 3. Характеристики сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении
- •Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости
- •4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации
- •4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии
- •4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости
- •Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •1. Статические моменты плоских сечений
- •2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений
- •3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора
- •6. Моменты инерции простейших фигур
- •7. Моменты инерции составных сечений
- •Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней
- •Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней
- •1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня
- •Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней
- •2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера
- •2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом
- •2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной
- •2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками
- •2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе
- •2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки
- •2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки
- •2.6. Большие перемещения гибкого стержня
- •Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
- •3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана
- •3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
- •Глава 7. Статически определимые стержневые системы
- •Историческая справка
- •1. Типы стержневых систем
- •2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса
- •3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы
- •4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы
- •5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны
- •6. Перемещения сечений пространственного бруса
- •6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения
- •6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора
- •6.3. Перемещения сечений плоской рамы
- •6.4 Перемещения узлов фермы
- •6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы
- •Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы
- •1 Кинематический анализ плоских систем
- •2 Метод сил. Канонические уравнения
- •2.1. Внешне статически неопределимые рамы
- •2.2. Внутренне статически неопределимые рамы
- •2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач
- •3 Перемещения сечений статически неопределимых рам
- •Глава 9. Критерии прочности
- •Раздел 1. Критерии статической прочности
- •1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine)
- •1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)
- •1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)
- •1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)
- •1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)
- •1.7 Критерий интенсивности напряжений
- •1.8 Критерий Кулона-Мора
- •1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии
- •Раздел 2. Критерии сопротивления усталости
- •2.1 Определение приведенных напряжений
- •2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами
- •2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла
- •2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков
- •2.1 Метод «дождевого потока»
- •Раздел 2. Критерии статической трещиностойкости
- •2.1 Энергетический критерий Гриффитса
- •2.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина
- •Глава 10 Расчет на прочность
- •Раздел 1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям
- •1.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса
- •1.2 Расчет на прочность при срезе и смятии
- •1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении
- •1.4 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 2 Расчет статической прочности по предельному состоянию
- •2.1 Расчет на прочность при растяжении сжатии
- •2.2 Расчет на прочность при кручении
- •2.3 Расчет на прочность при изгибе
- •Раздел 3 Расчет на устойчивость
- •3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям
- •3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
- •Литература
3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения
В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием следует считать момент возникновения в сжатом стержне напряжения равного σкр. В этом случае условие устойчивости можно записать:
σкр≤[σ]у,
где [σ]у- допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое по формуле:
.
где nу- коэффициент запаса устойчивости.
Введем обозначение . Соответственно, допускаемое напряжение на устойчивость:
[σ]у = φ×[σ]с,
где φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие;
[σ]с – допускаемое напряжение на осевое сжатие стержня.
Коэффициент φ определяет степень снижения допускаемого напряжения при подольном изгибе. Поскольку коэффициент зависит от критического напряжения, то очевидно, что он зависит от гибкости стержня и механических характеристик материала. Следовательно, расчет на устойчивость сжатых стержней можно выполнять по форме как расчет на осевое сжатие, введя пониженное допускаемое напряжение [σ]у.
Условие устойчивости можно записать:
Значения коэффициентов φ для продольного изгиба центрально сжатых стержней из сталей приведены в таблице 10.3.
Таблица 10.3
Гибкость, λ |
Коэффициенты φ для сталей с допускаемым напряжением на сжатие [σ]с, МПа |
|
200 |
240 |
|
10 |
0,988 |
0,987 |
20 |
0,967 |
0,962 |
30 |
0,939 |
0,931 |
40 |
0,906 |
0,894 |
50 |
0,869 |
0,852 |
60 |
0,827 |
0,805 |
70 |
0,782 |
0,754 |
80 |
0,734 |
0,686 |
90 |
0,665 |
0,612 |
100 |
0,599 |
0,542 |
110 |
0,537 |
0,478 |
120 |
0,479 |
0,419 |
130 |
0,425 |
0,364 |
140 |
0,376 |
0,315 |
150 |
0,328 |
0,276 |
160 |
0,290 |
0,244 |
170 |
0,259 |
0,218 |
180 |
0,233 |
0,196 |
190 |
0,210 |
0,177 |
200 |
0,191 |
0,161 |
210 |
0,174 |
0,147 |
210 |
0,16 |
0,135 |
Подчеркнем, что хотя расчет по форме это расчет на сжатие, но по существу это расчет на устойчивость, обеспечивающий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости. Раличают два вида расчета на устойчивость: проверочный и пректировочный.
Проверочный расчет.
Если задана сжимающая сила, а также геометрические характеристики стержня то проверка прочности на устойчивость каких либо затруднений не вызывает. Прежде всего, определяем наименьший осевой момент инерции Imin , площадь сечения F и мининимальный радиус инерции:
,
а также гибкость:
Затем, зная гибкость, находим по таблице коэффициентφ и проверяем условие устойчивости:
Проектировочный расчет.
Более сложной задачей оказывается подбор сечения при заданной длине и сжимающей силе. Дело в том, что коэффициент φ зависит от гибкости стержня λ, а гибкость неизвестна, поскольку неизвестно сечениеение. В таком случае расчет выполняют методом последовательных приближений. Исходим из условия устойчивости:
.
Из неравенства определяем потребную площадь сечения:
Кроме искомой площади в последнем соотношении неизвестным является также коэффициент φ. Поэтому при подборе сечения приходится пользоваться методом последовательных приближеня величину коэффициента φ. Обычно на первом шаге принимаем φ1=0,5‑0,6. При принятом φ1определяем F и подбираем конфигурацию сечения, для которого определяем Imin, imin, и λ. Определяем новое значение φ1´. Если φ1´ зачительно оличается от φ1, то расчет поворяют при . В результате второй итерации определяют φ2´. Если требуется третья итерация расчет повторяют при . Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя итерациями.
Пример 10.15
В стержне фермы возникает сжимающая сила P = 352 кН. Поперечное сечение стержня состоит из двух равнополочных уголков, расположенных тавром и соединенных между собой таким образом, что их совместная работа, как единого стержня, обеспечена. Материал стержня сталь Ст.3 (E=2,1×105 МПа, [σ]с=160 МПа, [σ]пц=220 МПа), длина стержня l =5,31 м, концы стержня считать закрепленными шарнирно.
Подобрать размеры поперечного сечения стержня. Определить коэффициент запаса устойчивости стержня при принятых размерах поперечного сечения.
Решение.
Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба:
1. Первое приближение. Примем φ1 =0,6.
Требуемая площадь сечения одного уголка:
F1 = F/2 = 1,84×10-3 м2
По ГОСТ 8509-72 уголок 100×100×10 имеет F1 = 1,92×10-3 м2. Минимальный радиус инерции сечения imin= ix = 3,05×10-2 м (очевидно, что для принятого сечения Ix < Iy).
Гибкость стержня:
, здесь μ=1, так как стержень шарнирно оперт.
По таблице 10.3 определим φ:
Значение значительно отличается от предварительно принятого φ.
2. Второе приближение.
Уголок 125×125×12-по ГОСТ 8509-72 имеет F=2,89×10-3 м2, imin= ix = 3,82×10-2 м
Определим гибкость стержня:
.
По таблице 10.3 - φ2≈0,376.
Определим действующее напряжение сжатия:
Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:
[σ]у=φ2×[σ]с=0,376×160=60,2 МПа,
Следовательно, стержень будет перегружен на 1,16%. Такая перегрузка нежелательна, поэтому рассмотрим еще один вариант. Примем уголок с меньшей площадью сечения, но с большим радиусом инерции, что приведет к уменьшению гибкости, а, следовательно, к повышению φ и [σ]у.
3. Третье приближение.
Примем уголок 140×140×9 с F=2,47×10-3 м2, imin= ix = 4,34×10-2 м;
Определим действующее напряжение сжатия:
,
По таблице 10.3 - φ2≈0,468
Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:
[σ]у=φ2×[σ]с=0,468×160=74,9 МПа.
Стержень будет недогружен на 5 %.
4. Определим коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах сечения.
Определим предельное значение гибкости:
Так как λ≥λпред, то для определения критических напряжений применим формулу Эйлера:
Определим запас устойчивости:
Пример 9.1
Конструкция цилиндрического гермофюзеляжа самолета, представляющая собой тонкостенную оболочку подкрепленную продольным (стрингера) и поперечным (шпангоуты) набором, изготовлена из алюминиевого сплава Д-16 с пределом текучести σтр= 26 кг/мм2 и μ=0,3. Определить коэффициент запаса по условиям текучести nт для пяти критериям текучести при следующих условиях нагружения:
а) эксплуатационный изгибающий момент вызывает продольные растягивающие нормальные напряжения в верхних точках фюзеляжа равными σx=20 кг/мм2;
б) одновременно с эксплуатационным изгибающим моментом в гермофюзеляжа создается избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм2, которое вызывает в обшивке продольные σx= 4 кг/мм2 и кольцевые напряжения σt= 8 кг/мм2;
в) дополнительно к условиям нагружения приведенным в п. б) на фюзеляж при выполнении маневра действует крутящий момент, который вызывает касательные напряжения в обшивке τxt= 8 кг/мм2.
Решение.
Условие а).
В данном случае реализовывается одноосное напряженное состояние (рис. 9.6), для которого для всех критериев текучести эквивалентные напряжения равны:
σэкв = σx
Рисунок 9.7
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σx = 26/20 = 1,3
Условие б).
При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.8).
Рисунок 9.8
В продольном направлении действует сумма напряжений от изгибающего момента и от избыточного давления σx =20+4 = 24 кг/мм2. На внутреннюю поверхность обшивки действует избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм2, которое вызывает в поверхностных слоях в радиальном направлении нормальное напряжение сжатия σr = - 0,006 кг/мм2
Действующие напряжения являются главными напряжениями: σ1 = σx = 24 кг/мм2, σ2=σt= 8 кг/мм2, σ3 = σr=0,006 кг/мм2.
1. По критерию максимальных главных напряжений:
σ
t
экв = σxСледовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σx = 26/24 = 1,08
2. По критерию максимальной главной деформации:
σэкв = σx-μ(σt + σr) = 24-0,3(20-0,006) ≈18 кг/мм2.
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/18 = 1,4
3. По критерию суммарной энергии деформации:
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/26,2 = 0,99
4. По критерию максимальных касательных напряжений:
σэкв=σx – σr = 26+0,006 =26 кг/мм2.
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/26 = 1
5. По критерию энергии деформации сдвига:
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/26,5 = 0,98
Условие в).
При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.9).
Рисунок 9.9
Дополнительно к напряжениям предыдущего нагружения, приведенному в п. б), действует касательное напряжение τxt= 8 кг/мм2.
Определим главные напряжения:
,
σ3 = 0,006 кг/мм2.
По критерию максимальных главных напряжений:
σ
t
экв = σ1=26,5 кг/мм2Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/26,5 = 0,98
2. По критерию максимальной главной деформации:
σэкв = σ1-μ(σ2 + σ3) = 26,5-0,3(17,5-0,006) = 21,25 кг/мм2.
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/21,25 = 1,2
3. По критерию суммарной энергии деформации:
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/27= 0,96
4. По критерию максимальных касательных напряжений:
σэкв=σ1 – σ3 = 26,5+0,006 =26,506 кг/мм2.
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/26,506 = 0,98
4. По критерию энергии деформации сдвига:
Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:
nт = σтр/ σэкв = 26/23,3 = 1,1