Задача 8.1.10с

Маємо два інвестиційних проекти. Перший з ймовірністю 0.6 забезпечує прибуток 15 млн грн., однак з ймовірністю 0.4 можна втратити 5.5 млн грн.. Для другого проекту з ймовірністю 0.8 можна одержати прибуток 10 млн грн. і з ймовірністю 0.2 втратити 6 млн грн.. Який проект обере ЛПР?

8.2. Ризик і метод теорії ігор

Загальні поняття і класифікаційні ознаки методу

Серед підходів щодо прийняття економічних рішень і їх оцінки, і які не можна вважати зайвими у освіченні операційного менеджера, особиве місце належить теорії ігор. Відносно прикладної сфери застосування моделей теорії ігор йдеться нижче. Однак спочатку доречним буде визначити, що криється під терміном "гра" і які загальні принципи її проведення. На змістовному рівні під грою можна розуміти взаємодію декількох осіб (гравців), які мають кінцевий стан (виграш), до якого прагне кожен гравець, але не кожен може його отримати. Типовим прикладом гри може слугувати конкуренція декількох фірм за державне замовлення, за місце на регіональному і глобальному ринках. Якщо інтереси гравців мають антогоністичні спрямування, то гру звуть антогоністичною. Якщо у процесі гри учасники якимось чином можуть об'єднуватись із надією на більш вагомий виграш, то гру звуть кооперативною. Тобто в залежності від можливості попередніх перемов між гравцями відрізняють кооперативні ігри і не кооперативні.

Конфліктність ситуації може бути обумовлена зовнішніми впливами. В такому випадку мається справа із "грой з природою".

Для храктеристики ігор використовують поняття: "гравець" – множина зацікавлених сторін ("учасники", "особи"); "стратегії" – можливі дії кожної із сторін; "функції виграшу" або "платежі"- числові характеристики, що обумовлюють інтереси сторін. Стратегії бувають "чистими" і "змішаними". Чисті стратегії – це стратегії, що орієнтовані на визначену поведінку гравця-супротивника. Змішані стратегії - це стратегії, що орієнтовані на декілька можливих стратегій поведінки гравця-супротивника.

Ігри класифікують за різними ознаками: за кількістю гравців, за властивостями функцій виграшу, за можливістю попередніх домовленостей і взаємодії між гравцями на протязі гри.

За кількістю гравців ігри поділяють на гру з двома, троьома і більшою кількістю гравців. В залежності від кількості гравців в грі може існувати якась обмежена кількість ходів кожного гравця. Послідовність ходів гравців, яка зветься партією, призводить гру до кінцевого стану. Якщо гра складається лише з двох гравців, то схему такої гри подають у вигляді таблиці – платіжної матриці (назва говорить сама за себе – платіж, що сплачується 1-им гравцем 2-му, якщо 2-й виграє). Трапляються випадки, коли по завершенню гри жоден з гравців не досягає виграшу, і не програє. Такий випадок носить назву гри двох осіб з нульовою сумою (антогоністична гра), тобто коли виграш однієї особи дорівнює програшу іншої. Але є гра коли гравці виграють і програють одночасно і які звуть іграми з постійною різницею.

Важливим поняттям теорії ігор є поняття стратегії – встановлений гравцем метод вибору ходів протягом гри. За кількістю стратегій харакеризують кінцеві і безкінцеві ігри. У кінцевих іграх гравці мають кінцеву кількість стратегій у безкінцевих – безкінцеву.

Для формулювання задачі у ігровій постановці виділяють такі етапи:

1. Визначення учасників гри. Аналізуються умови задач, робиться спроба виділити учасників гри і визначити сутність конфлікту, що виникає між ними.

2. Визначення стратегії гравців. Цей процес вважається неформальним. Щоб виділити стратегії , слід сформулювати кінцеві цілі гравців і знайти шлях їх досягнення. У матричних іграх із нульовою сумою цілі гравців протилежні.

3. Визначення виграшей гравців у разі використання кожної стратегії. Виграші (платежі повинні мати кількісний вираз); виграші є показниками ступеня досягнення мети відповідним гравцем. Виграші визначаються у разі сполучення різних стратегій гравців.

4. Представлення матриці платежів у нормальній формі.

Фундаментальним результатом теорії ігор є теорія про мінімакс, яка стверджує, що сформульовані задачі для гравців 1 і 2 завжди мають рішення для будь-якої матриці виграшей і ці рішення співпадають.

У разі збільшення кількості стратегій для пошуку оптимальних рішеь використовують декілька підходів:

1. Зменшення розмірності гри за рахунок визначення у матриці домінуючих рядків і стовпців. Домінуючим стовпцем (рядком) є такий де усі виграші не менші за виграші в іншому. Такий стовпець може виключатись із наступного розгляду.

2. Спрощення матриці за рахунок того, що афінне перетворення матриці платежів (перетворення усіх елементів матриці за правилами W^* = aW+b, a≠0) не змінює рішення гри.

В галузі сільського господарства, наприклад, теорія ігор може ефективно використовуватись для вирішення проблеми підбору більш прибуткових культур (гра з природою).

Приклад 8.2.1

Сількогосподарське підприємство виробляє і реалізує овочеві продукти А і Б. Собівартість вирощування овочевої продукції А становить 8 грн од.(кг), а ціна реалізації – 12 грн. Для Б відповідні показники становлять - 5 і 8 грн/од. Якщо продукція не реалізується на день надходження на ринок, її якість знижується і ціна реалізації стає меншою у 4 рази. Реалізація залежить від погоди: при сприятливій реалізація становить 2500 од.продукції А і 15000 од продукції Б; у разі несприятливої погоди об'єми по А становлять 10000 од. і Б – 3000 одиниць. Прцедури реалізації для прідприємства становлять 5000 грн. Визначити об'єми поденного постачання продукції на рикок кожного виду з метою отримати найбільший прибуток від реалізації.

Для наочності зведемо дані у таблитчну форму.

Продукт	Собівартість	Ціна 1	Ціна 2	Добра погода	Погана погода	Витрати на реалізацію
А	8	12	3	2500	10000	5000
Б	5	8	2	15000	3000

Рішення:

Визначимось, що перший гравець – підприємство, другий – природа. Очевидь, що у підприємства дві чисті стратегії: перша – орієнтація на сприятливу погоду, друга – на несприятливу. У природи також дві стратегії: бути сприятливою погоді чи несприятливою.

Визначимо виграші підприємства у разі використання чотирьох стратегій. Виграш – це прибуток, що визначається як різниця між вартісттю від загальною реалізацією продукції і витратами.

Витрати у разі першої чистої стратегії становитимуть: С₁= (8·2500)+(5·15000)+5000 = 100000 грн.

Витрати при другої стратегії: С₂=(8·10000)+(5·3000)+5000 = 100000 грн.

Реалізація залежатиме від природи. Якщо підприємство реалізує першу стратегію, то об'єм реалізації становитиме: Р₁₁=(12·2500)+(8·15000) = 150000 грн.

Якщо підприємство реалізує першу стратегію а природа другу, то об'єм реалізації становитиме: Р₁₂=(12·2500)+(8·3000)+(2·12000) = 78000грн.

Якщо підприємство реалізує другу стратегію а природа першу, то об'єм реалізації становитиме: Р₂₁= (12·2500)+(8·3000)+(3·7500) = 76500грн.

Якщо підприємство і пророда реалізують другу стратегію, то о'єм реалізації складатиме: (12·10000)+(8·3000) = 144000 грн.

Визначимо прибуток підприємства для кожного сполучення стратегій:

П₁₁ = 150000 грн. – 100000 грн. = 50000 грн.; П₁₂ = 78000 – 100000 = -22000 грн; П₂₁ = 76500 – 100000 = -23500 грн.; П₂₂ = 144000 – 100000 = 44000 грн.

Платіжна матриця або матриця виграшей буде такою:

Стратегія підприємства	Стратегія природи
	1	2
1	50000 грн	- 22000 грн
2	- 23500 грн	44000 грн

На наступному етапі визначаються нижня і верхня чисті ціни гри.

Нижня ціна гри визначається за формулою: , де: W_ij – виграш при i-ї стратегії першого гравця (підприємство) і j–ї стратегії другого.

Верхня ціна гри визначається по формулі: . Якщо нижня і верхня ціни гри співпадають, то гра має сідлову точку і вирішується в чистих стратегіях. Якщо нижня і верхня ціни гри не однакові , то гра вирішується у змішаних стратегіях.

Для нашої задачі V₁=- 22000 грн., V₂ = 44000 грн. і V₁# V₂ тому рішення у чистих стратегіях неможливе і необхідно відшукувати рішення у змішаних стратегіях.