7.1.2. Оптимізація використання матеріальних ресурсів

Приклад 7.1.6

Фірмі для створення виробу потрібно розкроїти цілісний матеріал на заготовки відповідних розмірів.

Формальна постановка задачі:

Вводимо означення:

L – довжина основного матеріалу;

і – номер (завдання) типу заготовки, яка потрібна;

l_і – довжина заготовки і – го типу;

А_і – загальна кількість заготовок і – го типу;

j – номери варіантів розкрою: ( і = 1,2….n).

a_ij – кількість заготовок і – го типу при розкроюванні одиниці ісходного матеріалу за j – м варіантом -

С_j – довжина відходів за j – м варіантом;

Нехай Х_і – кількість одиниць ісходного матеріалу розкроювання за j – м варіантом. Цільова функція за критерієм мінімізації відходів у формальному запису буде мати вигляд: .

За критерієм мінімізації одиниць материала, що отримуються із ісходного: при умовах:

Ісходне співвідношення для складання варіантів розкрою таке:

Остання умова означає, що довжина відходу для будь-якого варіанту розкрою повинна бути меншою за довжину найменш короткої заготівки. Такі умови вважаються ознакою повноцінності варіанту.

Числова постановка задачі

Фірма отримує від постачальника прокат (прутки) довжиною 600 см. Заява була подана на прокат 3-х видів у кількості 150 000 один. довжиною 250 см; 140 000 од., довжиною 190 см і 48 000 од. довжиною 100 см.

Варіанти розкрою складатимуться із блоків (табл.7.12): У першому блоці – варіанти розкрою, що дають всі 3 види заготовок. У другому - заготівки 2 і 3-го видів. У третьому - заготівки лише третього виду.

Таблиця 7.12. Ісходні дані

Блоки	№ варіанту (j)	Кількість заготівок (аij)			Залишок (Cj)
		l1 = 250	l2 = 190	l3 = 100
І	1 2 3	2 1 1	- 1 -	1 1 3	- 60 50
ІІ	4 5 6	- - -	3 2 1	- 2 4	30 20 10
ІІІ	7	-	-	6	-

Змінні - Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅, Х₆, Х₇ – кількість прутків конкретноговаріанту:

Обмеження:

.

Рішення:

Таблиця 7.13. Робоча матриця і результат рішення

Матеріали для практики і самоконтролю знань

Задачі з рішеннями

Задача 7.2.1А

У процесі виробництва два види продукції X і У проходять обробку на верстатах І і II. Для обробки одній одиниці продукції X необхідна одна година роботи на верстаті І і чотири години на верстаті II.. У верстата І є 200 годин вільного часу, а у верстата II — 400.

Обробка продукції У вимагає однієї години на верстаті І і однієї — на верстаті II. Одиниця продукції X дає прибуток у розмірі 10 грн., а одиниця продукції У — 5 грн. Все ці умови записуються такими рівняннями: :Х+ Y< 200 (верстат І); 4Х+ Y<400 (верстат II). Максимізувати - Z=10Х + 5Y → max.

Вирішіть задачу визначення оптимального використовування машинного часу графічним методом

Рішення:

У відповідності із графіком оптимальна точка має координати: Х= 67, Y=133. Прибуток в цій точці складе: (10 х 67) + (5 х 133) = 1335 грн. Для побудови першої лінії рівного прибутку, припустимо: 10X+ 5Y= 500; Х=0, Y= 100; Y= 0, Х= 50.

Задача 7.2.2А

Щоб придбати обладнання і розмістити його на площі 38 м² фірма отримала кредит 20 млн. грн. Ринок пропонує обладнання двох типів: А – вартістю 5 млн.грн., яке буде займати 8 м² виробничої площі і має потужність - 7000 одиниць продукції за зміну і типу В – вартістю 2 млн.грн, із вимогами до виробничої площі - 4 м² і потужністю 3000 одиниць виробів за зміну. Потрібно визначити оптимальний варіант разміщення.

Числова модель. Хай Х₁, Х₂ - кількість обладнання типів А і В. Цільова функція як така, що максимізує виробничу потужність в такому випадку буде: при обмеженнях:

;

Х_1,2 ≥ 0

Вводимо додаткові змінні Х₃ і Х₄ для перетворення нерівностей у рівняння:

;

Х₃ і Х₄ будут приймати позитивні целочисельні значення.

Вирішуючи задачу у ручному режимі отримали симплексну матрицю (табл.7.14), яка дозволяє зробити аналіз результатів рішення. Тобто у оптимальному плані Х₁=1; Х₂ = 7,5 і max

Таблиця 7.14. Остання симплексна таблиця

Базисні змінні	План	Х1	Х2	Х3	Х4
Х1	1	1	0	1	-0,5
Х2	7,5	0	1	-2	1,25
Zj-Cj		0	0	1	0,25

Для нецілочисельної змінної Х₂ складемо рівняння (із симплексної таблиці 7.14) 7,5 = Х₂ – 2Х₃ + 1,25Х₄ , звідки: Х₂ = 7,5 + 2Х₃ – 1,25Х₄. Оскільки Х₂ – ціле число, то цілою повинна бути і права частина рівняння: 7,5 + 2Х₃ – 1,25Х₄ ≡ 0 (≡ символ конгруентності), звідки отримаємо 0,25Х₄ ≡ 0,5, тобто вираз 0,25Х₄ може доповнити обмеження 0,25Х₄ ≥ 0,5, яке шляхом введення невід’ємних цілочисельних змінних перетворюється у рівняння.

Система обмежень ісходної задачі буде містити 3 рівня :

Вирішивши рівняння отримаємо Х₄ = 2, Х₂ = 5, Х₁ = 2. Придбання 2 одиниць обладнання типу А і 5 одиниць типу В забезпечить максимальну виробничу потужність - 29 000 одиниць за зміну.

Комп'ютерна інтерпретація процедури рішення підтверджує логіку міркування і зроблені висновки (табл.7.15, 7.16).

Таблиця 7.15. Рішення задачі до введення базису

Т аблиця 7.16. Остаточне рішення задачі

Задачі без рішень

Задача 7.1.1С

Процес виробництва двох видів продукції X і Y передбачає обробку на верстатах I і II. Для верстату I є 200 годин припустимого часу, а для вкрстату II — 400 годин. Для обробки одиниці продукції X потрібно одну годину роботи на верстаті I і чотири години на верстаті II.

Обробка продукції Y вимагає витратити одну годину на верстаті I і одну годину — на верстаті II. Одиниця продукції X дає прибуток у розмірі 10 грн., а одиниця продукції Y — 5 грн. Всі ці умови записуються такою системою рівнянь:

Х+ Y< 200 (верстат I).

4Х+ Y<400 (верстат II).

Максімізувати :10Х + 5Y.

Вирішіть задачу за допомогою електронної таблиці Excel і визначте оптимальний показник використання робочого часу.

Задача 7.1.2С

Вирішіть задачу графічним методом:

12X+14Y?84;

3X+2Y?18;

Х?4. Максимізуйте ЗХ + У.

Задача 7.1.3С

Вирішіть задачу графічним методом лінійного програмування.

4А + 6В?120;

2А + 6В?72;

В?10. Мінімізуйте 2А + 4В.

Задача 7.1.4С

Застосуйте симплексний метод і вирішіть наступні нерівності :

3Х₁ + 2Х₂+4Х₃ < 32;

Х₁+ 3Х₂+4Х₃ < 36;

Х₁ + Х₂ < 13. Максимізуйте 10Х₁ + 12Х₂+ 16Х₃

Задача 7.1.5С

Виробнича компанія припинила випуск асортименту продукції який виявився неприбутковим. Як наслідок звільнилися значні виробничі потужності. Управлінський персонал фірми розглядає можливість використання додаткових потужностей для випуску одного або двох з виробів, замість трьох що нею випускались: Х₁, Х₂ і Х₃.

Машинний час, що необхідний для випуску одиниці кожного виду продукції становить ( в годинах):

	Продукція
	Тип обладнання			X1		X2	X3
	Фрезерні верстати			8		2	3
	Токарні верстати			4		3	0
	Шліфовальні верстати			2		0	1

Кількість годин за тиждень
Фрезерні верстати	800
Токарні верстати	480
Шліфовальні верстати	320

За попередніми оцінками персоналу, компанія може продавати всю випущену продукцію X₁ і X₂, проте, що стосується продукції Х₃, максимальна прогнозована кількість продажів складає 80 одиниць в тиждень. Прибуток на одиницю продукції по кожному виду виробів такий:

Прибуток на одиницю продукції, грн
Х1	20
Х2	6
Х3	8

a). Запишіть рівняння, на підставі яких можна максимізувати тижневий прибуток.;

b). Вирішіть ці рівняння симплексним методом;

с). Яким буде оптимальне рішення? Яка кількість кожного виду продукції слід випускати фірмі, і який буде отриманий в результаті прибуток?

d). Як дана ситуація відобразиться на роботі кожної групи верстатів? Чи будуть вони працювати на повну потужність, або буде залишатися невикористаний машинний час?

е). Чи буде продукція Х₃ випускатися в кількості, достатній для забезпечення максимальних об'ємів продажів?

f). Припустимо, що за рахунок надмірної експлуатації фрезерних верстатів доступний машинний час можна збільшити на 200 годин в тиждень. Рекомендували б Ви це зробити? Поясніть, що спонукало Вас зробити такий висновок.

Задача 7.1.6С

Для їдалень, що в гуртожитках університету розробляється нова дієта. Основна мета – зробити харчування дешевшим, але раціон повинен мати від 1800 до 3600 калорій. При цьому не більше ніж 1400 калорій повинні бути з вуглеводів і не менше 400 з білків. Дієта повинна включати два продукти: А і В. Продукт А коштує 3,5 грн. за 0,5 кг і має 600 калорій, 400 з яких білки, а 200 вуглеводи. Кожний студент повинен мати можливість споживати не більше 1 кг продукту А. Продукт В коштує 1,5 грн. за 0,5 кг і містить 900 калорій, з яких 700 вуглеводи, 100 — білки і 100 — жири.

a). Складіть рівняння, які відображали б всі наведені дані.

b). Вирішіть задачу графічним методом для кожного виду продуктів, які повинні входити до меню студента.

Задача 7.1.7С

Сформулюйте і вирішіть задачу 7.1.6С, додавши додаткове обмеження, яке полягає в том, що не більше ніж 150 калорій повинне надходити в організм з жирів, а ціна при цьому підвищується до 3,75 грн. за 0,5 кг продукту А і 2,50 грн. за 0,5 кг продукту В.

Задача 7.1.8С

Компанія „Оранта” хоче змішати два види палива (А і В) для своїх

вантажівок, щоб мінімізувати вартість перевезень. Для нормальної експлуатації машин протягом наступного місяця компанії знадобиться не менше ніж 3000 літрів палива. Максимальна місткість для зберігання палива фірми складає 4000 літрів. В наявності є 2000 літрів пального А і 400 літрів пального В. Змішане пальне повинне мати октанове число не менше за 80.

При змішуванні пального об'єм отриманої суміші дорівнює сумі змішуваних об'ємів. Октанове число є середнє зважене окремих октанових чисел, узятих в пропорційному відношенні від відповідних об'ємів. Відомо також наступне: паливо А має октанове число 90 і коштує 4,20 грн. за літр;

пальне В має октанове число 75 і коштує 3,90 грн. за літр.

а). За даними складіть відповідні рівняння;

b). Вирішіть задачу графічно, враховуючи об'єми кожного виду пального, що використовується;

с). Врахуйте всі обмеження.

Задача 7.1.9С

Припустимо, що Ви бажаєте скласти власний бюджет, який дозволяє оптимізувати деяку частину вашого доходу після сплати податків. При цьому ви можете виділити максимум 1500 грн. в місяць на їжу, житло і розваги. Загальна сума, виділена на їжу і житло, не повинна перевищувати 700 грн., а на розваги ви можете дозволити собі виділити не більше 300 грн. в місяць. Кожна гривня, що витрачена на харчування, дає задоволення, яке можна оцінити в 2 бали; одна гривня, витрачена на житло 3 бали; кожна гривня, витрачена на розваги 5 балів.

Припускаючи лінійність взаємозв'язків, скористайтеся симплексним методом лінійного програмування і визначте оптимальний розподіл свого доходу.

Питання для контролю знань і дискусії

1. Які вимоги пред'являються до задачі, щоб вирішувати її методами лінійного програмування?

2. Яку додаткову інформацію можна отримати з рішення задачісимплексним методом?

3. Яка інформація міститься в тіньових цінах?

4. Чим є вільні змінні? Чому вони необхідні при застосуванні симплексного методу? В яких випадках вони використовуються при застосуванні транспортного методу?

5. Що є опуклим багатокутником в графічному рішенні? Як опуклість багатокутника графічного рішення виявляється в симплексному методі?

7. Сформулюйте задачу лінійного програмування

8. Надайте визначення поняттям: припустимий план, оптимальний план, рішення задачі.

9. Яка різниця між загальною задачею лінійного програмування і канонічної?

10. Чи кожну загальну задачу лінійного програмування можна звести до канонічного вигляду?

11.Чим відрізняється опуклий багатогранник від багатогранної опуклої множини?

12. Чи кожний конус може бути опуклою множиною?

13. Який план зветься базисним?

14. Який план задачі лінійного програмування є звироднілим?

15. Які проблеми виникають при рішенні звироднілої задачі?

16. Надайте визначення двоїстої задачі.

17. В чому полягає економічна інтерпретація змінних двоїстої задачі?

18. Сформулюйте умови для припустимих змін цільової функції задачі при яких її оптимальний план залишиться незмінним?

19. Сформулюйте критерій оптимальності, що використовується в алгоритмі двоїстого симплекс-методу.

20. У яких ситуаціях можуть бути реалізовані переваги двоїстого симплекс-методу?

21. Назвіть основні вимоги до задач лінійного програмування.

22. Наведіть тлумачення понять "критерій оптимальності" і "цільова функція".

23. З яких етапів складається процес постанови задачі лінійного програмування. Розкрийте сутність і наведіть послідовність реалізації цих етапів.

24. Сформулюйте поняття задачі лінійного програмування.