6.5.1. Математичні методи у сукупному плануванні

Слід звернути увагу, що сукупне планування перетворює загальні стратегічні плани і плани у плани, що деталізують і враховують такі складові як чисельність робочої сили, кількість матеріальних запасів, об’єм

виробництва. При цьому сукупне планування не є детальним плануванні у загальному сенсі.

Таблиця 6.18. Характеристики математичних методів сукупного планування

Методи	Допущення	Методика
Графічний і табличний	Ні	Метод спроб і помилок. Тестує альтернативні плани. Спрощений у використанні. Не є оптимальним
Моделювання сукупного плану	Наявність комп’ютеризованої виробничої системи	Тестує сукупні алани, що розроблені на підставі інших методів
Лінійне програмування-метод транспортної матриці	Лінійність, постійна чисельність робочо сили.	Корисно для окремих випадків коли до складу витрат не входять витрати на приймання і звільнення робітників.
Лінійне програмування – симплексний метод	Лінійність	Можна обробляти будь-яку кількість змінних, але є утруднення із формалізацією. Оптимальне рішення є.

П р о д о в ж е н н я т а б л и ц і 6.18
Метод нелінійних рішень*	Квадратичні функції витрат	Для визначення продуктивності і чисельності робочої сили використовує коефіцієнти, що отримуються із математичних рівнянь.
Метод управляючих коефіцієнтів**	При допущенні, що менеджери приймають вдалі рішення.	Для прийняття нових рішень, використовує статистичний аналіз минулих. Застосовують лише до однієї групи менеджерів. Не оптимальний
Метод пошуку правил рішення***	Будь-який тип структури витрат	Для пошуку точок мінімуму на кривих сукупних витрат, використовує процедуру перебирання моделей. Складний для використання. Не оптимальний.

Примітка: Чейз Р.Б., Єквилайн Н.Д., Якобс Р.Ф. Производственный и операционный менеджмент. Перев. с англ. Изд.дом "Вильямс" , М.: изд. Вильямс, 2001.- 691 с.

Виробничі періоди		Періоди продажу				Запас на кі-нець періоду	Запас який не вико-ристано	Загальна потужн-ість
Запас на початок періоду		1	2	3	4
		50						50
1	Звичайний робочий час	700						700
	Наднормативний час	50				50	250	350
2	Звичайний робочий час	X	700					700
	Наднормативний час	X	100			150		250
3	Звичайний робочий час	X	X	700				700
	Наднормативний час	X	X	100		150		250
4	Звичайний робочий час	X	X	X	700			700
	Наднормативний час	X	X	X	100	150		250
Загальні потреби		800	800	800	800	500	250	3950

Рисунок 6.13 Совокупне планування методом транспортної матриці

Варто ознайомитись із найбільш поширеним із перелічнених в табл.. 6.18 методів – методом лінійного прогнозування.

Линійне програмування

Слід мати на увазі, якщо вартість продукції лінійно залежна від змінних, а попит можна розглядати як детерміновану величину, зручно використовувати лінійне програмування. У загальному випадку використовується симплекс-метод. У випадку, якщо залучати до планування процедуру приймання на роботу або звільнення, можна використати найбільш спрощений метод лінійного програмування – метод транспортної матриці. Для приклада реалізації методу розглянемо процес рішення задачі (рис. 6.13)

Цей метод іноді зветься періодичною моделлю оскільки пов’язує попит на продукцію із виробничою потужністю по періодах 4. У розглянутому випадку маємо чотири півперіоди із прогнозуємим попитом у 800 одиниць кожний. Виробнича потужність складає 3950 одиниць, залишковість потужності (3950 — 3200) = 750. У нижній стричці матриці вказана бажана величина матеріального запасу у 500 одиниць на кінець планового періоду, тому невикористана потужність зменшується до 250.

Ліва сторона матриці показує засоби, що забезпечують потрібний об’єм продукції в плануємому періоді (а саме початкові матерріальні запаси при звичайній і наднормованої роботі у продовж кожного періоду). Знаком X означені періоди, в яких неможливе планування, оскільки неможливо випустити продукцію, наприклад, в періоді 3 для задовільнення попиту в періоді 2. (Таке було б можливо, якщо б ситуація дозволяла використовувати не зроблені замовлення). І нарешті, витрати у кожній клітинки зростають за рахунок витрат на збереження, що становлять 5 доларів за кожний період.

Тому, якщо деяку продукцію виробляють у звичайний робочий час у період 1 для задоволення попиту у періоді 4, то слід додати 15$ на витрати при зберіганні

Наднормові роботи є більш коштовні, але час виготовлення продукції (звичайне чи наднормоване) не впливає на витрати зберігання.

Наведене рішення оптимальне.

При застосуванні наведеного методу корисно враховувати додаткові фактори, які можна включати у матрицю сукупного планування:

1.Асортиментне виробництво. Якщо на тих самих потужностях виробляють

більше ніж один вироб, то в матрицю слід включити додаткові стовпці у відповідності із асортиментом виробів. Кількість стовпців дорівнює кількості виробів які випускають у кожному місяці і вартість, що внесена у кожну клітинку дорівнює вартості виготовлення відповідного виробу.

2. Заборгованість за замовленням. Витрачений час і витрати пов’язані із невиконанням замовлення можна включати до матриці якщо вставити замість Х (рис.6.13) у відповідній клітинці необхідну розмірність втрат. При цьому , якщо продукція на яку існує попит, в періоді 1 буде постачатись в періоді 2 , це рівнозначне тому, що попит на продукцію в періоді 1 задовольняється випуском продукції в періоді 2. Наприклад, якщо вартість продукції 10$, пов’язана із такою заборгованістю за замовленням періоду 1 збільшить число у витратної клітинці періоду 2 і складатиме 60$ (10$-заборгованість по замовленню + 50$ - вартість вироблення продукції у звичний робочий час у період 2).

3. Упущені продажі. Якщо попит менший ніж запланований, фірма несе збитки, що дорівнює втраченому доходу. Їх можна внести до матриці, додавши до кожного періоду стрічку „Упущені продажі”. Витрати у комірках будуть відповідати втраченому доходу з кожної одиниці не реалізованого продукту.

4. Термін придатності продукції. Якщо через встановлений термін збереження продукція не продана, то відповідні клітинки у матриці відмічають як такі, що не виконуються. Якщо продукцію яка наведено на рис.6.13 неможливо продати у зв’язку з тим, що вона зберігається вже два періоди, комірки, що розміщуються на перехрещенні рядків періоду 1 і стовпців, які розміщенні вище періоду 3 будуть такими, що невиконні.

5. Укладання субпідрядних договорів. Якщо до кожного періоду у матриці додати рідок „субпідряд”, то таку процедуру можна включити . Значення затримок у кожній комірки повинне дорівнювати вартості виготовлення одиниці продукції за субпідрядом плюс вартість зберігання матеріальних запасів.

Примітка: Використана тут аналогія із класичним транспортним методом заснована на таких відповідностях:

1. виробничі періоди – це заводи (цехи), періоди продажу – складські приміщення;

2. витрати на заробітну платню і на зберігання – транспортні витрати;

3. кінцевий запас і не використані потужності – фіктивні приміщення.

Транспортна матриця достатньо гнучка і може поєднувати різні фактори сукупного планування.

В цілому линейне програмування слід застосовувати у випадку лінійної залежності між витратами і змінними або, якщо існуючу нелінійну залежність можна розчленувати на відносно лінійні частки.

Із усіх відомих складних математичних методів сукупного планування, що наведені в табл. 6.18 у промисловості найбільш поширеним є метод лінійного програмування, який не складно реалізувати у пограмі Excel фірми Microsoft через опцію Solver.

Матеріал для практичних занять і самоконтролю знань

Задачі без рішень

Задача 6.5.1С

1. Розробіть виробничий план і підрахуйте щорічні витрати фірми

у якої прогнозований попит на осінь склав 10 000 одиниць; на зиму — 8000; на весну — 7000 і на літо — 12 000 одиниць. Запаси на початок осені склали 500 одиниць.

На початок осіні чисельність робочих складала 30 одиниць. Ви плануєте на початку літа найняти тимчасових робочих і в кінці літа звільнити їх. Ви також провели переговори з профспілкою про можливість використовування постійних робітників на наднормових роботах взимку або навесні, якщо це потрібно буде для запобігання невиконання замовлень в кінці кварталів. Восені наднормових робіт не було. Відповідно витрати склали: 100 доларів на кожного тимчасового робочого; 200 доларів на кожного звільненого; 5 доларів в квартал за зберігання кожної одиниці запасу; 10 доларів за кожну одиницю невиконаного замовлення; 5 доларів в годину за звичайний робочий час; 8 доларів в годину за наднормову роботу. Прийміть, що продуктивність дорівнює 0,5 одиниці за одну годину робочого часу, тривалість робочого дня складає 8 годин і в сезоні 60 робочих днів.

Задача 6.5.2С

Складіть виробничий план на чотири місяці з лютого по травень. В лютому і березні об'єм виробництва повинен точно відповідати прогнозованому попиту. В квітні і травні використовуйте наднормові роботи і матеріальний запас при стабільній чисельності робочої сили; слово "стабільна" означає, що чисельність, яка необхідна для виконання робіт в березні, повинна залишатися постійною по травень включно.

Місцеві власті встановили обмеження на наднормові роботи: в квітні і травні вони не повинні перевищувати 5000 годин в місяць (в лютому і березні наднормові дорівнюють 0).

Якщо попит перевищує пропозицію, то має місце невиконання замовлення. На 1-е січня працювало 100 робітників. Маркетологи надали наступні прогнози попиту: лютий — 80 000; березень — 64 000; квітень — 100 000; травень — 40 000. Продуктивність складає чотири одиниці на одного робітника в годину, робочий день — 8 годин, в місяці — 20 робочих днів.

Прийміть, що на 1-е лютого запаси дорівнюють 0. Витрати наступні: 250 гривен на кожного знов прийнятого робітника; 350 грн на кожного звільненого; 20 грн в місяць за зберігання кожної одиниці запасу; 20 грн в годину за роботу за звичайним графіом; 30 грн в годину за наднормову роботу; 40 грн за кожну одиницю невиконаного замовлення. Визначте за таким планом загальні витрати.

Задача 6.5.3С

Складіть план виробництва наступного року. Прогнозований попит на весну — 20 000; на літо — 10 000; на осінь — 15 000; на зиму — 18 000. На початок весни у вас працює 70 робочих і є 1000 одиниць запасу. Відповідно до контракту з профспілкою ви можете звільняти робочих тільки один раз в рік, а саме на початку літа.

Приймати на роботу нових робочих ви можете тільки в кінці літа, щоб почати постійну роботу восени. Число звільнених робочих на початку літа і число прийнятих в кінці літа повинне забезпечити заплановані рівні виробництва влітку і восені які, у свою чергу, рівні прогнозованому попиту на літо і осінь відповідно.

Якщо попит перевищує пропозицію, використовуйте наднормові роботи тільки навесні. Це означає, що невиконання замовлень буде тільки взимку. Прийміть наступні витрати: 100 грн на кожного нового прийнятого робочого; 200 грн. на кожного звільненого; 20 грн. у квартал за зберігання кожної одиниці запасів; 8 грн. за кожну одиницю невиконаного замовлення; 10 грн. в годину за роботу по звичайному графіку; 15 грн. в годину за наднормові роботи. Продуктивність складає 0,5 одиниці на кожного робочого в годину, тривалість робочого дня дорівнює 8 годинам, в кварталі 50 робочих днів. Визначте загальні витрати.

Задача 6.5.4С [4]

Компанії DAT, Inc. необхідно розробити сукупний план для своєї

потокової лінії. Нижче наведені стартові дані.

Час виготовлення	1 година на одиницю продукції
Годинна оплата праці	$10 в годину
Тривалість робочого тижня	5 днів, 8 годин щодня
Число робочих днів в місяці	20 робочих днів
Початковий запас	500 одиниць
Резервний запас	Півмісячний запас
Втрати на дефіциті	$20 на одиницю в місяць
Поточні витрати	$5 на одиницю в місяць

Прогноз продажів на 2008 рік

Січень	Лю-тий	Бере-зень	Кві-тень	Травень	Чер-вень	Ли-пень	Серпень	Вересень	Жов тень	Листо- пад	Гру-день
2500	3000	4000	3500	3500	3000	3000	4000	4000	4000	3000	3000

Керівники вважають за краще підтримувати постійну чисельність робочої сили і рівень виробництва, згладжуючи коливання попиту за допомогою надлишків і дефіциту запасів. Нереалізована продукція переходить на наступний місяць.

Розробіть сукупний план, що відповідає прогнозованому попиту і умовам задачі. Не намагайтеся знайти оптимум; просто знайдіть добре рішення і встановіть процедуру, яку ви змогли б використовувати для перевірки більш вдалого рішення. Прийміть всі необхідні допущення.

Задача 6.5.5С[7]

Компанія Old Pueblo Engineering Contractor займається розробкою

шестимісячних графіків, що "катяться", які щомісячно перераховують. За

конкурентними міркуваннями (компанії прийшлося б оприлюднити власні

критерії розробок, методи і т.д.) компанія Old Pueblo не використовує субпідряд.

Тому, щоб задовольнити споживацький попит, компанія стоїть перед вибором: (1) робота в нормальний робочий час; (2) надурочна робота, тривалість якої не повинна перевищувати 30% нормального робочого часу; (3) завчасне виконання робіт для споживачів, на що щомісячно потрібні $5 за годину додатково; (4) виконання робіт для споживачів із запізненням, що приведе до щомісячної виплати штрафу у розмірі $10 в годину згідно контракту.

В компанії Old Pueblo працює 25 інженерів із погодинною ставкою 30 доларів. Потреба в продукції компанії з січня по червень складає:

Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень	Червень
5000	4000	6000	6000	5000	4000

Розробіть сукупний план, використовуючи метод транспортної матриці. Прийміть, що в кожному місяці 20 робочих днів.

Задача 6.5.6С [4]

Компанія Alan Industries розширює своє виробництво на потоковій лінії запуском нових продуктів: А, В і С. Їх будуть випускати на колишньому устаткуванні. В зв'язку з цим поставлена задача — задовольнити попит на дані три види продуктів використовуючи при необхідності надурочні роботи. Прогнозований попит (виражений через кількість годин, необхідного для виробництва продуктів) на наступні чотири місяці наводиться нижче.

Продукт	Квітень	Травень	Червень	Липень
А	800	600	800	1200
В	600	700	900	1100
С	700	500	700	850

Оскільки ця продукція швидкопсувна і спостерігається погіршення її якості з'являються високі витрати, перехідні на наступні періоди. Кожна година виробництва, що перейшла на майбутні місяці, призводить до таких витрат: для продукту А - $3 на одну годину виробництва, для продукту В - $4 і для продукту C - 5 $.

Виробництво здійснюється або в звичайний робочий час, або в надурочний. При виготовленні в звичайний робочий час за продукт А платять $4 , за продукт В - $5 і за продукт С- $6 доларів. Додаткова оплата за надурочий час складає 50%.

Виробнича потужність, що розміщується, для звичайного і наднормовоного робочого часу наведена нижче.

	Квітень	Травень	Червень	Липень
Звичайний робочий час	1500	1300	1800	1700
Наднормовий час	700	650	900	850

a) Наведіть задачу в матричній формі і визначте відповідні витрати.

b) Наведіть можливе рішення.

Задача 6.5.7С

Розробіть для наступної задачі виробничий графік випуску точного

об'єму продукції, змінюючи чисельність робочої сили.

Прогнозований попит на виріб X в січні, лютому і березні складає: 1000, 1500 і 1200 відповідно. Резервний запас, що рекомендується, складає половину прогнозованого попиту кожного місяця. В січні 22 робочих дні, в лютому — 19 і в березні — 21. Початковий запас складає 500 одиниць.

Виробничі витрати складають 200 доларів на одиницю продукції, витрати

на зберігання дорівнюють $3 на одиницю продукції в місяць, годинна ставка оплати праці рівна $6 , за надурочні — $9 за годину, втрати на дефіциті складають $10 на одиницю продукції в місяць, граничні витрати на субпідряд рівні $10 на одиницю продукції, витрати на прийом нових робочих і їх навчання складають $200 на кожного робочого, витрати на звільнення рівні 300 доларів на одну людину і продуктивність праці складає 0,1 виробу в годину. Прийміть що початкова чисельність рабочих складає 50 одиниць і тривалість рабочого дня дорівнює 8 годинам.

Задача 6.5.8С[8 ]

Компанія Shoney розробляє план виробництва на наступні 12 місяців. Головний критерій цього плану — умова збереження постійної чисельності робочої сили протягом цього періоду. Для розробки нових додатків компанія продовжує науково-дослідні роботи і вважає за краще не викликати будь-яких негативних емоцій у своїх співробітників. Із ряду причин всі працівники повинні працювати повний робочий тиждень, навіть якщо є альтернатива з якнайменшими витратами.

Прогнозований попит на наступні 12 місяців наведено нижче.

Місяць	Прогнозований попит	Місяць	Прогнозований попит
Січень	600	Липень	200
Лютий	800	Серпень	200
Березень	900	Вересень	300
Квітень	600	Жовтень	700
Травень	400	Листопад	800
Червень	300	Грудень	900

Виробничі витрати складають $200 на одиницю продукції

причому частка витрат на матеріали рівна частки витрат на працю. Витрати на зберігання запасів рівні $5 в місяць. Дефіцит даної продукції веде до втрати продажів і оцінюється в $20 на одиницю продукції.

Первісні запаси на початок планового періоду складають 200 одиниць. Для виробництва одного програвача відеокомпакт-дисків необхідно 10 годин робочого часу. Тривалість робочого дня складає 8 годин.

Розробіть сукупний план виробництва строком на рік при постійній

чисельності робочої сили. Для простоти прийміть, що в кожному місяці 22 робочих днi окрім липня, коли завод закривають на три тижні, і всі йдуть у відпустку (в липні лише 7 робочих днів). Прийміть будь-які необхідні допущення.

Питання для контроля і обговорення

1. В чому головна відмінність між сукупним плануванням виробництва і

сервісу?

2. Які основні змінні використовуються в плануванні виробництва?

Назвіть чотири основні види витрат.

3. Які основні відмінності між чистою і змішаною стратегіями планування

виробництва?

4. Дайте визначення східчастого графіка. Чим воно відрізняється від чистих

стратегій планування виробництва?

6. За яких умов при сукупному плануванні слід використовувати загальний

симплекс-метод, а не транспортну модель?

7. Яким чином точність прогнозування пов'язана з практичним застосуванням моделей сукупного планування, розглянутих в даному розділі?

8. Яким чином оцінити, чи є найкращим для фірми обраний для сукупного плану часовий горизонт?

Б і б л і о г р а ф і я

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки. Навч. Посібник. – К.: КНЕУ 2003. – 406 с.

2. Гэлловэй Лес. Операционный менеджмент. Принципы и практика. СПб.% ПРТЕР, 2001 . -319 с.

3. Налівайко А.П. Теорія стратегії підприємства. Сучасний стан та напрямки розвитку. _ К.: КНЕУ, 2001. – 227 с.

4. Чейз Р.Б., Єквилайн Н.Д., Якобс Р.Ф. Производственный и операционный менеджмент. Перев. с англ. Изд.дом "Вильямс" , М.: изд. Вильямс, 2001.- 691 с.

5. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учебн. пособие. – М.: Дело, 200. – 440 с.

6. Marshall L. Fisher, Janice H. Hammond, Walter Ober-meyer and Anath Raman, "Making Supply Meet Demand in an Uncertain World", Harvard Business Review, May—June 1994, р.

7. D. McLeavy and S. Narasimhan, Production Planning and Inventory Control (Boston: Allyn & Bacon, 1985).

8. Yasuhiro Monden, Toyota Production System (Atlanta, GA: Industrial Engineering and Management Press, 1983).

9. G.W. Plossl, Production and Inventory Control: Principles and Techniques, 2nd ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1985).

10. E.A. Silver and R. Peterson, Decision Systems for Inventory Management and ProductionPlanning, 2nd ed. (New York: John Wiley & Sons, 1985).

11. Т.Е. Vollmann, W.L. Berry and D.C. Whybark, Manufacturing Planning and Control Systems, 3rd ed. (Homewood, IL: Richard D. Irwin, 1992).

12. Oliver W. Wight, Production and Inventory Management in Computer Age (Boston: Cahners, 1974).

Р О З Д І Л 7