8.2.1. Теорія ігор в прикладах і задачах

Моделлвання ризику в умовах протидії

Приклад 8.2.2

Менеджер автосалону (перший автосалон) припускає можливість змінити розтошування салону з причини близькості конкуруючої фірми (другий автосалон). Але із тієї ж причини змінити місце може і конкурент. В такому разі менеджер ризикує втратити $0,5 млн. Від чистого продажу.

Якщо власник першого салону змінить розташування, а конкурент залишиться на старому місті, то перший автосалон заробить $1,0 млн. від чистого продажу.

Якщо перший салон залишиться там же, а конкурент переїде, то перший салон заробить $1,5 млн., але коли перший салон залишиться і конкурент зробить теж саме, то перший салон втрачає $1,0 млн.

Тобто найбільш вигідний варіант для першого салону якщо змінює місце конкурент, але припустити таке важко. Тому щоб мінімізувати втрати менеджер висуває пропозицію змінити місце першого салону. Матриця рішень проілюструє цю пропозицію менеджера і можливе вирішення проблеми:

Таблиця 8.4. Матриця рішень

Дія конкурента	Дія менеджера 1-го салону
	Змінити розташування	Не змінювати розташування
Змінити розташування	-$500,000	+$1500000
Не змінювати розташування	+$1000000	-$1000000

Менеджер розмірковує: „З мого боку, мені потрібна якась очікувана винагорода, яка залишиться сталою незалежно від рішення мого конкуренту. Таким чином, я введу поняття ймовірності (Р) залежної від дій. Якщо мій конкурент вирішить змінити місце розташування, очікувана мною винагорода становитиме ($500000·Р)+($1500000·(1-P)). Якщо він вирішить залишитись там де він є, моя винагорода дорівнюватиме ($1000000·P) – ($1000000·(1-P)). Оскільки я хочу, щоб винагорода була однаковою в кожному випадку, маємо рівняння: (-$500000∙P) + ($1500000∙(1-P)) = ($1000000∙P) – ($1000000∙(1-P)), або P =0,.6250 і (1-P) =0,3750.

Таким чином, якщо мій конкурент переїде, моя очікувана винагорода (виграш) дорівнюватиме (-$500000 · 0,6250) + ($1500000 · 0,3750) = $250000.

Якщо він залишається, я матиму: ($1000000 · 0,6250) – ($1000000 · 0,3750) = $250000. Незалежно від дій мого конкурента, я отримаю $250000 – набагато менше, ніж можливий виграш, але набагато більше, ніж можливі втрати” .

Ігрові підходи в конкурентному середовищі

Для менеджера, дії якого у будь-якій мірі пов'язані з ринком, приходиться стикатися окрім випадкових впливів на бізнес його організації із цілеспрямованими діями конкурентів, а тому не завадить загальна обізнанність з практичних питань теорії ігор.

Із попереднього відомо, що особливий розділ науки - теорія ігор дозволяє хоча б частково локалізувати негативні наслідки дій конкурентів як в умовах їх нейтральності, так і в умовах протидії. У якості простого прикладу використання теорії ігор в операційному менеджменті розглянемо просту ситуацію.

Приклад 8.2.3

Хай в умовах конкуренції ми маємо три варіанти стратегій (наприклад - випускати протягом деякого часу один із трьох видів продукції) – S₁, S₂ і S₃. При цьому конкурент має всього два варіанти стратегій C₁ і C₂ (випускати один із двох видів своєї продукції, що може замінити на ринку продукцію нашої фірми). При цьому з обох сторін є умова, що змінювати вид продукції у продовж визначеного часу неможливо .

Приймемо, що нам і нашому конкуренту достименно відомі наслідки власної поведінки по кожному із варіантів оцінки стратегій трьох видів продукції (табл. 8.5).

Таблиця 8. 5. Матриця гри

	C1	C2
S1	-2000	+ 2000
S2	-1000	+3000
S3	+1000	+2000

Інтерпретація даних таблиці говорить про наступне:

а) якщо ми приймемо стратегію S₁, то зазнаємо збитків у розмірі 2000 гривень, а конкурент матиме ту ж суму прибутку, якщо застосує C₂ ;

б) ми маємо прибуток в 2000 гривень, а конкурент втрачає ту ж суму, якщо ми приймемо S₁ проти C₂;

в) ми зазнаємо збитку в сумі 1000 гривень, а конкурент одержує такий прибуток, якщо наш варіант S₂ виявився проти його варіанту C₁.

Зауваження: гравці дотримуються правила - варіант поведінки на визначений термін приймають один раз, не знаючи, звичайно, що зробив на цей же час конкурент.

До цілі „виграш” намагається наблизитись кожний гравець, але не кожний може її досягти. Варіанти поведінки гравців можна вважати ходами, а множину ходів - розглядати як партію.

Хай партія складається всього лише з одного ходу з кожної сторони. Спробуємо знайти цей якнайкращий хід спочатку для нашого конкурента - поміркуємо за нього.

Оскільки таблиця відома як нам, так і конкуренту, то логіку його міркування можна промоделювати.

Конкуренту варіант C₂ явно невигідний - при будь-якої ходи із нашого боку ми будемо у виграші, а конкурент у програші. Отже, з боку нашого супротивника буде, найкраше, прийнятий варіант C₁, що гарантує йому мінімум втрат.

Міркування із нашого боку можуть складатись таким чином: здається, що варіант S₂ принесе нам максимальний виграш в 3000 гривень, але це за умови вибору конкурентом C₂ , а він, швидше за все, обере C₁.

В такому випадку краще, що ми можемо зробити - обрати варіант S₃, розраховуючи на якнайменший з можливих виграшів - в 1000 гривень.

Як і у кожній грі є специфічні правила обізнаність з якими є обов'язком гравців. Тому наведемо декілька вже згадуваних нами понять з теорії гри:

- оскільки в таблиці гри наш можливий виграш завжди дорівнює програшу конкурента і навпаки, то таке положення відповідає поняттю – гра з нульовою сумою;

- варіанти поведінки гравців-конкурентів звуться чистими стратегіями гри, маючи на увазі незалежність їх від поведінки конкурента;

- найкращі стратегії для кожного з гравців звуться рішенням гри;

- результат гри, на який розраховують обидва гравці (1000 гривень прибутку для нас або стільки ж у вигляді програшу для конкурента) називають ціною гри, яка при грі із нульовою сумою однакова для обох сторін;

- таблицю виграшів (програшів) називають матрицею гри, в даному випадку - прямокутник.

Наведений вище хід міркувань щодо пошуку найкращого плану гри в умовах конкуренції - не єдиний спосіб вирішення такого класу задач. Досить часто менеджер стикається з нагодою коли більш ефективним може бути інший принцип пошуку оптимальних ігрових стратегій - принцип мінімакса. Головне, що цей принцип припускає більш коротший і більш логічний ланцюг міркування.

Для ілюстрації цього методу розглянемо попередній приклад гри з дещо зміненою матрицею (табл. 8.6).

Таблиця 8.6. Змінена матриця гри.

	C1	C2
S1	-2000	- 4000
S2	-1000	+3000
S3	+1000	+2000

Повторимо алгоритм попередніх наших міркувань.

1. Ми ніколи не оберемо стратегію S₁, оскільки вона при будь-якій відповіді конкурента принесе нам значні збитки. Із тих двох, що залишилися доцільніше обрати S₃, оскільки при будь-якій відповіді конкурента ми отримаємо прибуток. Тобто обираємо як оптимальну стратегію S₃.

2. Міркування нашого конкурента приблизно такі ж . Розуміючи, що ми ніколи не приймемо S₁ і оберемо, врешті-решт, S₃, він скоріше за все ухвалить таке рішення: вважати для себе стратегію C₁ оптимальною, оскільки в цьому випадку він матиме найменші збитки.

3. Можна схилятись і до іншого алгоритму міркувань, що дає у підсумку такий же результат. При виборі найкращого плану гри для нас міркування можна здійснювати за такою схемою

- при стратегії S₁ мінімальний (min) "виграш" складе - 4000 гривень;

- при стратегії S₂ мінімальний (min) "виграш" складе - 1000 гривень;

- при стратегії S₃ мінімальний (min) виграш складе + 1000 гривень.

Виходить, що найбільший (max) з найменших (min) виграшів - це 1000 гривень і стратегію S₃ слід вважати оптимально., з надією на те, що у відповідь конкурент обере стратегією C₁. Таку стратегію можна прийняти як стратегією MaxiMin.

Якщо спробувати змоделювати поведінку конкурента, то для нього:

- при стратегії C₁ максимальний (max) програш складе 1000 гривень;

- при стратегії C₂ максимальний (max) програш складе 2000 гривень.

Це означатиме, що наш конкурент, якщо він буде мислити логічно і розсудливо, то обере стратегію C₁, оскільки саме вона забезпечує найменший (min) з найбільших (max) програшів. Таку стратегію і називають стратегією MiniMax.

Відбулося щось подібне до рокіровки: ми робимо хід S₃ вважаючи, що буде відповідь C₁, а наш конкурент - хід C₁, розраховуючи на відповідь – S₃.

Такі стратегії звуться мінімаксними - ми сподіваємося на мінімум максимальних збитків або, що одне і те ж, на максимум мінімального прибутку.

В наведених прикладах оптимальні стратегії "супротивників" співпадали. В таких випадках можна казати - вони відповідали сідловій точці матриці гри.

Метод мінімакса відрізняється від стандартного ланцюга логічних міркувань таким важливим показником як алгоритмічність. Зрозуміло, якщо сідлова точка існує, то вона розміщується на перетині деякого рядка S і деякого стовпця С. Якщо число в цій точці є найбільшим для даного рядка і, одночасно, найменшим у даному стовпці, то це і є сідлова точка.

Є сенс розглянути ситуацію у відсутності сідлової точки.

Задача в цьому випадку для нас (і для нашого поміркованого конкурента) буде полягати в зміні стратегій, в надії знайти таку їх комбінацію, при якій математичне очікування виграшу або середній виграш за деяке число ходів буде максимальним.

Приклад 8.2.4

Хай ми прийняли рішення 50% ходів в грі робити з використанням S₁, а іншу половину - з S₂. При цьому, ми не можемо знати, яку із своїх двох стратегій буде застосовувати конкурент, і тому доведеться розглядати два крайні випадки його поведінки (табл. 8.7).

Таблиця 8.7. Оцінка поведінки конкурнта

	C1	C2
S1	-3000	+7000
S2	+6000	+1000

Якщо конкурент увесь час буде застосовувати C₁, то для нас виграш складе 0.5∙ (-3000)+0.5∙(+6000) = 1500 гривень.

Якщо ж він увесь час буде застосовувати C₂, то наш виграш складе 0.5∙(+7000)+0.5∙(+1000) = 4000 гривень. Тут вже є привід для роздумів і аналізу. Якщо потрібна відповідь на питання, що ми будемо мати у разі застосування конкурентом також змішаної стратегії, то відповідь вже готова - ми будемо мати виграш не менше 1500 гривень, оскільки виконані вище розрахунки охопили всі варіанти змішаних стратегій конкурента.

Поставимо питання в узагальненому вигляді - а чи існує найкраща змішана стратегія (комбінація S₁ і S₂) для нас в умовах застосування змішаних стратегій (комбінації C₁ і C₂) з боку конкурента? Математична теорія ігор дозволяє відповісти на це питання ствердно - оптимальна змішана стратегія завжди існує, але вона може гарантувати мінімум математичного очікування виграшу. Методи пошуку таких стратегій добре розроблені і віддзеркалені в літературі.

Однак, лише нам вирішувати - чи скористатися рекомендацією і застосувати оптимальну стратегію гри, але при цьому зважати на ризик можливого програшу (виграш виявиться гарантованим лише при дуже великої кількості ходів).

Спираючись на вище наведений приклад формалізований сценарій пошуку кращої змішаної стратегії може виглядати таким чином.

Хай ми застосовуємо стратегію S₁ із частотою μ, а стратегію S₂ із частотою (1 - μ). В такому випадку ми матимемо виграш: W(C₁) = (μ ∙ (-3000))+((1-μ)∙ (+6000)) = 6000 - 9000μ , у випадку застосування конкурентом стратегії C_1, або будемо мати виграш: W(C₂) = (μ∙(+7000)) + ((1-μ) ∙ (+1000)) = 1000 + (6000∙μ) , у разі застосування конкурентом стратегії C₂.

Теорія ігор дозволяє знайти для нас кращу стратегію із умови W(C₁)=W(C₂), що веде до найкращого значення μ = 1/3 і математичного очікування виграшу величиною в (-3000)∙(1/3)+(+6000)∙(2/3) =3000 гривень.