6.4. Управління процесами виробництва

В операційних системах при управлінні процесами і подіями часто трапляються випадки коли потрібно встановити черговість виконання робіт або взаємопов’язаних дій.

Зауважимо, що з математичної точки зору такі задачі досить складні. Тому практично не існує загально-прикладних методів що дозволяли б створювати найкращий розклад для будь-яких випадків [1].

Розглянемо декілька типових випадків притаманних виробничій операційній системі.

6.4.1. Призначення черговості робіт

Метод двох верстатів (алгоритм Джонсона для двох верстатів)

Приклад 6.4.1

Фірма використовує два верстати – А і В. Кожна деталь повинна бути оброблена і на верстаті А і на верстаті В (в другу чергу). Відомий час обробки кожної деталі: t_iA - час обробки і-ї деталі на верстаті А, t_jB - час, що витрачається для обробки j-ї деталі на верстаті В. Для різних деталей термін обробки різний. Важливими обмеженнями вважаються:

• на кожному з верстатів одночасно можливо обробляти лише одну деталь;

• кожна деталь обробляється лише на одному верстаті ;

• процес обробки не може перериватись.

Номер деталі	1	2	3	4	5
Верстат А	3	4	2	3	1
Верстат В	2	1	3	5	4

Потрібно визначити варіант плану запуску деталей при якому загальний час їх обробки буде мінімальним. В оптимальному рішенні порядок робіт на А співпадає з порядком виконання робіт на верстаті В. Оскільки на першому верстаті операції можна виконувати без затримки, оптимізація полягатиме в мінімізації простоювання другого верстата .

Алгоритм вирішення задачі:

1.Записуються терміни, що потрібні для виконання робіт.

2. Переглядаються усі витрати часу на обробку (для А і В) і серед них відшукуються мінімальні (t_2B=1; t_5A=1). Якщо мінімальне значення часу віднесено до першого верстату (t_iA , в прикладі t_5A = 1 ), то деталь з відповідним номером ставиться на обробку першою (деталь №5 буде першою на станку А, а значить і на В). Якщо мінімальний час віднесено до 2-го верстату (t_jB), то деталь з відповідним номером ставиться на обробку останньою (деталь № 1 буде оброблятись в останню чергу).

3. “Забувають” обрану деталь.

4. Якщо час обробки двох різних деталей на одному верстаті співпадає і цей час менше часу обробки на другому, то черговість обробки цих деталей вільний. Для випадку, що наведено оптимальна послідовність обробки така: 5-3-4-1-2, загальний обсяг часу 16 одиниць. Для порівняння, обробка в послідовності 1-2-3-4-5- потребує 21 одиницю часу.

Метод трьох верстатів у прикладах

Суттєвість методу полягає в двох припущеннях:

1. Мінімальний час обробки на верстаті 1 такий великий як найбільший час обробки на верстаті 2.

2. Мінімальний час обробки на верстаті 3 такий великий як найбільший час обробки на верстаті 2.

Приклад 6.4.2

Маємо роботи А, В, С, Д і три верстати N_­1, N_­2, N_­3. Складемо матрицю для 2-х верстатів і визначимо послідовність за 4-ма правилами Джонсона (табл.6.11):

Таблиця 6.11. Матриця задачі , що складена за методом 2-х верстатів

Роботи	Верстати і час
	N­1t1	N­2t2	N­3t3
А	13	5	9
В	5	3	7
С	6	4	5
Д	7	2	6

1. Всі роботи перераховані і час виконання визначено.

2. Відбирається робота з найбільш коротким часом виконання. Якщо воно припадає на 1-й верстат, розписують її першою, якщо на 2-й розписують останньою. У разі рівнозначності часу, рішення приймається на підставі арбітражного підходу.

3. Якщо роботу розписано, її виключають із процедури розгляду.

4. Кроки 2 і 3 розповсюджуються на роботи, що залишились, в напрямку середини.

Хай маємо таку послідовність робіт: В-А-С-Д. Робоча матриця для 3-х верстатів буде такою (табл.6.12):

Таблиця 6.12. Перетворена матриця для 3-х верстатів

Роботи	t1+ t2	t2+ t3
А	18	14
В	8	10
С	10	9
Д	9	8

Приклад 6.4.3

Компанія „Авто-Сервіс”, що належить підприємцю Н бажає укласти договір на виконання ремонтних робіт з ділерською компанією, що займається продажем потриманих автомобілів. Однією з основних вимог для укладення цього договору є стислі терміни виконання робіт, оскільки ділерська компанія бажає, щоб автомобілі як можна швидше потрапляли в торгівельну мережу. В наведеній нижче таблиці вказано час (в годинах), потрібний ремонтному і фарбувальному цехам на кожну із п'яти автомобілів на переобладнання яких ділерська компанія згодна укласти контракт. Припустимо, що автомобілі спочатку надходять в ремонтний цех (переобладнання двигуна і т.ін.), а потім — в фарбувальний. Чи зможе підприємець виконати поставлену перед ним умову і дістати контракт?

Автомобіль	Час на ремонт (годинн)	Час на фарбування (годинн)
А	6	3
В	0	4
C	5	2
D	8	6
Е	2	1

Рішення.

Цю задачу можна сприймати як випадок роботи цеху або бригади з двома верстатами. Завдання також можна вирішити за допомогою правила Джонсона. Остаточний варіант плану: B - D – A – C - E

Приклад 6.4.4

Алгоритм для n деталей і двох верстатів. Хай є необхідність обробити n різноманітних деталей на двох станках. Для спрощення будемо вважати, що кожна деталь потребує однієї послідовності операцій (спочатку вона обробляється на верстаті 1, потім на верстаті 2). При цьому черговість обробки деталі однакова для обох верстатів (деталь, яка обробляється першою на верстаті 1, повинна першою оброблятися і на верстаті 2). Означимо через а_і – час, що потрібен для обробки і-ї деталі на верстаті 1, а через b_і – час, що потребується для її обробки на верстаті 2. Величина Т означатиме час, що використовується для обробки n деталей (враховуються зупинки), а величина х_і – час зупинки верстата 2 у проміжку між закінченням обробки деталі (і – 1) і початком обробки і-ї деталі.

Задача полягає в тому, щоб обрати порядок обробки деталей, якому відповідає найменше значення Т. Оскільки 1-й верстат не простоює, деталі на ньому обробляються одна за одною, зрозуміло, що найменшому значенню Т відповідатиме мінімальний загальний час тривалості зупинок верстату 2. Тому задачу можна вирішувати на мінімум загального часу простоювання верстата 2.

Спробуємо вирішити задачу методом простого перебирання різних можливостей. Припустимо, що всього обробляється n = 100 деталей. В такому разі матимемо: 100! = 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 ∙6 ∙7 ∙8 ∙9 ∙10 ∙…∙100 можливих варіантів черговості обробки деталей. Тобто число таке велике, що немає практичного сенсу перебирати таку кількість варіантів і метод об’єктивно не може вважатись доцільним. Звернемо увагу на такий підхід.Хай маємо обробити n = 10 деталей на двох верстатах, час обробки деталей на кожному верстаті відомий (табл.6.13).

Номер деталі	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10
аі	8	2	6		5	3	4	8	9	6	1
bi	10	7	4		2	5	9	1	7	8	2

Таблиця 6.13. Вхідні дані

Спосіб пошуку найкращої послідовності обробки деталей полягає в такому. Спочатку у стрічках a_i і b_i відшукуємо мінімальну величину. Якщо вона міститься у першому стовпці, то відповідна деталь обробляється першою, якщо у другому, то обробляється останньою. У випадках двох однакових значень будь-яка із двох відповідних деталей може оброблятися першою, друга оброблятиметься останньою. Та деталь (або деталі), відносно якої відомо, коли її обробляти, викреслюється із списку деталей і уся процедура із пошуком мінімуму повторюється знову.

Рисунок 6.7 Лінійні графіки навантаження

Доведено, що послідовність яка при цьому отримується, є оптимальною – їй відповідає найменший час обробки усіх деталей. У нашому прикладі на основі такого підходу встановлено таку послідовність обробки деталей: 10, 2, 5, 6, 9, 1, 8 ,3, 4, 7. Загальний час обробки складе 56, а час простою верстата 2 дорівнює х₁₀=1. Графіки навантаження обладнання мають вигляд, що наведено вище (рис.6.7):

Задачі з рішеннями

Задача 6.4.1А

Необхідно оформити 6 робіт (оформлення документів) і організувати послідовність оформлення відповідно до правил FCFS і EDD. Яка послідовність є переважною?.

Черговість за правилами FCFS

Робота	Час тривалості процесу	Строки виконаня роботи, дні
A	6	22
B	12	14
C	14	30
D	2	18
E	10	25
F	4	34

Рішення: За правилами FCFS роботи мають таку черговість: А-В-С-D-Е-F.

Послідовність робіт	Час тривалості процесу	Час потоку	Строк виконання	Запізнення
A	6	6	22	0
B	12	18	14	4
C	14	32	30	2
D	2	34	18	16
E	10	44	25	19
F	4	48	34	14
Всього	48	182		55

Розрахунки параметрів:

1. Середній час завершення роботи: 182/6 = 30,33дн.

2. Середнє число робіт в системі: 182/48 = 3,79

3. Середнє запізнювання: 55/6 = 9,16дн.

Розміщення за правилами EDD – має таку послідовність: B–D–А– E– С– F.

Робота	Час тривалості процесу	Час потоку	Строки виконаня роботи	Запізнення
В	12	12	14	0
D	2	14	18	0
A	6	20	22	0
E	10	30	25	5
C	14	44	30	14
F	4	48	34	14
Всього	48	168		33

Визначення параметрів робіт при розміщенні EDD:

1. Середній час завершення: 168/6 = 28 дні;

2. Середнє число робіт в системі; 168/48 = 3,5;

3. Середнє запізнення: 33/6 = 5,5 дні.

Задача 6.4.2А

Скористайтесь у якості первинної інформацією з задачі 6.4.1А.

Забезпечити рекомендації про порядок виконання робіт і розглянути послідовність виконання робіт пріоритетів за правилами SPT і LPT.

. Рішення: За правилами SPT черговість операцій має таку послідовність:

D – F –А – E – B – С

Визначення параметрів:

1). Середній час завершення роботи: 124/6=20,67днів;

2). Середнє число робіт в системі: 124/48 = 2,58;

3). Cереднє запізнювання: 38/6 = 6,33 дні.

Послідовність	Термін	Час потоку	Час виконання	Запізнення
D	2	2	18	0
F	4	6	34	0
A	6	12	22	0
E	10	22	25	0
B	12	34	14	20
C	14	48	30	18
	48	124		38

За правилами LPT послідовність операцій становитиме: С–B–E–А–F–D.

Послідовність	Термін	Час потоку	Час виконання	Запізнення
C	14	14	30	0
B	12	26	14	12
E	10	36	25	11
A	6	42	22	20
F	4	46	34	12
D	2	48	18	10
Всього	48	212		85

Визначення параметрів:

1. Середній час завершення роботи: 212/6 = 35.33 дні;

2. Середнє число робіт в системі: 212/48 = 4.42;

3. Середнє запізнювання: 85/6 = 14.17дні.

Висновки: SPT забезпечує кращий середній час завершення робіт і середнє число робіт в системі (2,58) серед всіх правил випуску.

EDD забезпечує якнайменше середнє запізнювання (5,5 дня). SPT є доброю пропозицією. Недоліком LPT є те, що час очікування виконання робіт занадто тривалий.

Задача 6.4.3А

У підприємства є потреба переорієнтуватись на інший продукт.

Розрахувати час переналагодження лінії з 2-х годинної на 3-х годинну при умовах:

Річний попит = 104000 виробів.

Швидкість денного попиту = 400 виробів.

Денна продуктивність = 1000 виробів.

Бажаний розмір партії = 300 одиниць.

Витрати на зберігання = 10 грн за одиницю в рік.

Витрати на оплату робітнику, що налагоджує лінію - 12 грн/годину.

Рішення: Q = ; Q² = ; S = - витрати на одне переналагодження;

S = = 540000/208000 = 2.59. Тобто, час переналагодження =2,59 годин, платня за налагоджування в годину = 2,59/12 = 0,215 = 7,77 грн.

Задача 6.4.4А

Автосервісна організація виконує комплекс робіт в тому числі зміну коліру автомашин. Щоденно такої процедури потребують п'ять авто, які проходять через два робочі центри (Ц-1 і Ц-2). Визначте черговість операцій і мінімальні витрати часу.

Автомобілі	Нормативні терміни виконання, годин
	Ц-1(грунтовка)	Ц-2(фарбування)
R	4	5
S	17	7
T	14	12
U	9	2
W	11	6

Рішення:

1.Фарбування U min (2 години), тому U ставиться на 5-у позицію Ц-2.

2. Грунтовка R – найбільш коротка операція (4 години), тому R ставиться на 1-у позицію Ц-1. Залишаються S,T і W.

3.Фарбування W найменьша за тривалістю (6 годин), тому W поставимо на 4-у позицію .

Маємо оптимальну послідовність (рис. 6.8): R-T-S-W-U. Загальний час проходження має мінімальне значення – 57 годин.

Рисунок 6.8. Лінійний графік черговості робіт

Задачі із відповідями

Задача 6.4.1В

Відкрили копіювальний центр. Постійні витрати оцінюються у 12000 грн, змінні - 0,01 грн. на копію.

Ціна копіювання 0,05 грн. Яка точка беззбитковості у гривнах і одиницях.

Відповідь: ВЕР=15000 грн; ВЕР=300000 одиниць.

Задача 6.4.2В

Потужність для ремонту двигунів вантажних автомобілей, що проектується =80 вантажівок/день. Ефективна потужність – 40двиг./день. і поточний вихід складає – 36 двиг./день.

Коефіцієнт використання =

Ефективність = . Нормативна потужність = (потужність, що проектується)∙( коефіцієнт використання)∙(ефективність) = (80)∙(0,45)∙(0,9) =

Задача 6.4.3В

Варіант	Тривалість операції, хв.
	Номери операцій
	1	2	3
1	5	3	2
2	2	5	3
3	3	5	2
4	4	6	7
5	7	6	4
6	6	7	4
7	7	4	6
8	1	5	3
9	3	1	5
10	2	8	4

Визначити тривалість циклу обробки партії із 10 деталей при послідовному, паралельному і послідовно-паралельному сполученні

операцій. Яка тривалість обробки однієї деталі?

Побудувати графік черговості обробки.