7.3. Транспортні задачі в операційному менеджменті

Транспортна задача за критерієм часу

В реальних економічних розподільчих задачах з перевезеннях критерієм оптимальності є загальна вартість перевезень f. Однак виникають ситуації коли є сенс за критерій оптимальності використовувати час Т; у продовж якого всі перевезення будуть здійснені. Наприклад, у разі перевезень продуктів, що швидко псуються, більш важливим є не вартість перевезень а їх тривалість. Така транспортна задача зветься транспортною задачею із критерієм часу.

В транспортній задачі за критерієм часу найкращім планом перевезень є той план тривалість перевезень Т за яким мінімальна: T→ min.

Приклад 7.3.1

Хай задані M пунктів (складів): А₁,А₂,....,А_M в яких містяться запаси вантажу: а₁, а₂,..., а_N,; N пунктів призначення В₁, В₂,....,В_N, що надали замовлення на вантаж в об’ємі b₁, b₂,..., b_М, і час перевезення t_ij із пункту A_i до пункту B_j (A_i→B_j; t_ij, i=1,2,…,M, j=1,2,…,N). Потрібно за min термін Т(Т→ min) організувати перевезення вантажів {х_ij} із А_i до B_j таким чином, щоб з кожного пункту відправлення А_i увесь об’єм вантажу a_i було вивезено: , (7.43) і до кожного пункту призначення B_j увесь вантаж у відповідності з замовленням b_j було завезено: , (7.44).

Означимо час конкретних перевезень х_ij як t_ij у термінах Т. План перевезень буде вважатись виконаним в той час коли закінчується найбільш тривала із усіх перевезень, тобто тривалість плану перевезень Т визначатиметься максимальною тривалістю t_ij не нульових перевезень: (7.45 ). Таким чином потрібно відшукати план перевезень {х_ij}, що задовольнятиме умовам → min.( 7.46 ).

Зауважимо, що транспортна задача за критерієм часу не є задачею лінійного програмування, оскільки цільова функція Т не є лінійною функцією змінних х_ij.

Вирішення транспортної задачі за критерієм часу може бути досягнуто методом заборонених комірок . Цей метод складають два етапи:

• відшукується початковий допустимий план;

• отриманий план поступово покращується (прискорюється).

Приклад 7.3.2

Маємо транспортну таблицю, де у правому верхньому куті кожної комірки вписано час відповідних перевезень t_ij (табл.7.21).

Таблиця 7.21. Метод заборонених комірок.

Для визначення початкового припустимого плану перевезень можна використовувати відомий метод “північно-західного кута”, або метод найменшого елементу.

Припустиме рішення: х₅₂, х₃₁,х₄₂, х₄₃, х₁₃, х₂₁, х₆₅, х₆₄, х₂₄ (перевезення x_ij наведені у черговості їх визначення) отримане методом найменшого елементу і наводиться в табл. 7.21. Час знайденого шляху перевезень Т визначається умовою: якщо . Щоб зменшити Т

перевозу х₂₄ треба розмістити у клітинці яким відповідають перевезення з t_ij<t₂₄.

Більш швидкий план {х_ij} не може містити перевезень з t_ij>t₂₄ тому із подальшого розгляду виключаються всі такі клітинки ( викреслимо їх). При змінені допустимого плану перевезень {х_ij} із збережень обмежень, також використовується поняття циклу транспортної таблиці. Однак на відміну розподільчого методу, де цим поняттям оперують, або метода потенціалів позитивні вершини циклу можуть спиратись на клітинки із нульовими перевезеннями. Щоб перенести х₂₄ в інші клітинки помітимо клітинку А₂В₄ ознакою “ - “ і побудуємо з неї цикл. Вершини цього циклу – клітинки А₅В₄, А₅В₂,А₄В₂,А₄В₃ і А₂В₃ – помічені відповідними ознаками “+” і “-“. Мінімальні значення які можна пересунути по цьому циклу, х₂₄ = 75.

Новий більш швидкий план перевезень {х_ij} наведено в табл. 7.22

Т аблиця 7.22. Другий крок ітерації

Час цього плану Т дорівнює t₂₃ = t₆₄ = 7, тому із подальшого розподілу викреслюємо клітинки з t_ij = 8. Побудуємо цикли із клітинок А₂,В₃ і А₆В₄. Вершинами першого циклу є клітинки А₂В₃, А₄В₃, А₄В₂ і А₂В₂, другого – А₆В₄, А₆в₂, А₅В₂, і А₅В₄. За першим циклом (із А₂В₃) можна перекинути 75 одиниць, а за другим (із А₆В₄) – 25 одиниць. Результат наступних третього і четвертого ітераційних кроків записані в табл. 7.23.

Таблиця 7.23. Результат третього і четвертого ітераційних кроків

Час припустимого плану, що отримано - Т = 6. Викреслимо із подальшого розглядання комірки із t_ij = 7. Аналіз таблиці 7.23 дозволяє зробити висновок, що створити більш швидкий план із Т < 6 неможливо.