2.1.1. Мережні графіки як інструментарій управління проектами

До методичної основи управління проектами покладено теорію графів, що реалізується через мережні графіки і засоби системного підходу.

Зауважимо, що у різноманітних операційних стратегіях і операційних процесах на принципах системності здійснюється розробка і вибір проекту, розробка корпоративного плану організації або її бюджету і т.інш. Тобто, необхідність підвищення системності виникає у різних областях операційної діяльності. В цьому сенсі аналіз систем і дослідження операцій, зокрема, передбачає такі процедури:

- виділення цілі або сукупності цілей;

- виділення альтернативних засобів для досягнення цілі;

- виділення ресурсів для використання кожної операції;

- побудова математичної (в межах дослідження операцій), або логічної (в межах аналізу систем) моделі, тобто, визначення залежностей між цілями і параметрами системи, альтернативними заходами їх досягнення, зовнішнім середовищем і ресурсами;

- визначення критеріїв вибору переважної альтернативи.

У процесі формування проектних рішень виділяються такі етапи:

- визначення цілей проектування продукту чи процесу;

- встановлення проблем у процесі досягнення операційних цілей;

- дослідження проблеми і діагностування;

- пошук рішення проблем;

- оцінка можливих альтернатив і вибір найкращої;

- узгодження рішень в проектній групі і організації;

- затвердження рішень;

- підготовка до введення рішень в процедури проектування;

- управління процедурами реалізації рішень;

- контроль за результатами і перевірка ефективності.

Таким чином, системний підхід до рішення різноманітних проблем проектування, якщо спиратись на утилітарну точку зору, пов’язаний із виділенням системи в зовнішньому і корпоративному середовищі, визначенням сукупності послідовних логічних кроків, які приводять до визначеної мети.

Мережні графіки – це схематичне зображення послідовності робіт які повинні бути виконані у визначені строки і в межах терміну завершення проекту в цілому. Мережні методи відслідковують три основні фактори (поодинці або в комбінаціях): час, витрати і ресурси на підставі моделей “час-витрати” і “управління ресурсами”.

Найчастіше у прикладному спрямуванні використовуються два підходи

– PERT (Program Evalution and Review Technigue) – оцінки і перегляду програм;

- CPM (Critical Path Method) - метод критичного шляху.

На підставі цих підходів визначається тривалість реалізації проекту (робіт) у часі, який становить основу для планування і контролю.

PERT- або метод "оцінки і перегляду програм" (ОПП) застосовується, як правило, для складних проектів із значною часткою невизначеності і де операції зображено стрічками (  ). PERT використовує три експертні оцінки операцій для кожної роботи. Формально кожна робота оцінюється математичним очікуванням часу її виконання і дисперсією.

CPM – або метод "критичного шляху" використовують для проектів з відносно простими рутинними операціями, які позначаються вузлами (зображення у вигляді прямокутника -□ , або кола -○). У методі СРМ припускається, що часові значення всіх робіт задані безумовно.

Методи PERT і СРМ є типовими модулями системи мережного планування.

Для PERT і СРМ характерно наявність таких процедурних кроків реалізації:

1. Визначити всі основні роботи або задачі проекту.

2. Встановити всі зв'язки між роботами. Визначити які роботи повинні передувати і які є наступними на даний період.

3. Викреслити мережний графік, що містить всі роботи.

4. Визначити часові і (або) грошові витрати стосовно до кожної роботи.

5. Розрахувати на графіку найдовший (найтриваліший) шлях від початку виконання проекту до його закінчення (критичний шлях).

6. Використовувати мережу для реалізації плану, розкладу виконаних робіт, управління і контролю за розвитком проекту. Деякі особливості щодо створення мережних графіків розглянемо на прикладі.

Хай задано проект у вигляді мережної схеми робіт (рис. 2.3).

Рисунок 2.3. Мережний графік у варіанті „роботи – стрілки”

Виділимо роботу F. Відповідно до графіку є дві роботи - С і D , які повинні бути завершені перш ніж почнеться робота F, однак насправді повинна бути закінчена лише робота D. Тобто, графік 2.3 не є коректним. Вирішити проблему допоможе процедура додавання „фіктивної” роботи (і "фіктивної" події), у результаті чого отримаємо мережу в іншому вигляді (рис. 2.4). Тут мережа містить усі необхідні зв'язки і графік може бути підданий подальшому аналізу.

Рисунок 2.4. Виправлений мережний графік

Із системних позицій, якщо справа йдеться про складні мережні побудови (великі проекти), то у разі необхідності мережні схеми поділяються на підпроекти, кожний з яких має власне мережне відображення. Перевагою ієрархічного представлення є те, що користувачу легше засвоїти інформацію, яка потрібна на різних рівнях створення проекту. В цьому випадку основний графік надає загальне уявлення, а подробиці розглядають мережні графіки процесу виробництва окремої деталі або вузла.

Якщо проект неможливо поділити на озоро незалежні стадії – розбудовується єдина мережа. В цьому випадку, управління складними проектами (можуть містити тисячі робіт) відбувається комп’ютеризованими моделями PERT або СРМ .

Критичний шлях

При управлінні проектами на основі методів мережних графіків використовують такі поняття як критичний шлях і резервний час. Є сенс узагальнено визначитись з цими поняттями.

Критичний шлях – ланцюг послідовно зв’язаних операцій із найбільшою тривалістю (шлях де відсутні резерви часу). Тобто, критичний шлях – група робіт проекту для якої час резерву - R дорівнює 0. Затримка на критичному шляху будь-якої роботи веде до токої ж за часом затримки всього проекту.

Резервний час для кожної операції - це значення показника різниці між ранніми і пізніми термінами її завершення.

Резерв використовується для визначення більш раннього початку і страхування тих робіт які мають невизначеності, а також для згладжування потреби в ресурсах.

Формальна мета аналізу критичного шляху це, перш за все, визначення таких характеристик проекту:

- ES (Early Start) – ранній час початку операції. Тобто, всі попередні роботи повинні бути завершені до початку цієї роботи. Час їх повного завершення і є ранній час початку даної роботи.

- LS (Lately Start) – пізній час початку операції. Всі наступні (за цією роботою) роботи повинні бути завершені без зміни строків завершення проекту. Тобто, це пізній час початку роботу без затримки часу виконання проекту в цілому.

- EF (Early Finish) – ранній час закінчення операції (ранній термін коли операція може бути закінчена не затримуючи всього проекту).

- LF (Lately Finish) – крайній час закінчення роботи (пізній термін, коли операція може бути закінчена не затримуючи всього проекту).

- R – резерв часу роботи - (LS-ES), або (LF-EF).

Розгорнута алгоритмічна блок-схема процедур визначення цих параметрів, їх взаємозалежності, що розглядаються на прикладі однієї роботи, наведена на рисунку 2.5 [14]. Спираючись на цю схему розлянемо два числові приклади аналізу мережного проекту.

Рисунок 2.5 . Блок-схеми розрахунків часових параметрів робіт

Приклад 2.1

Для будь-якої роботи (із наведених на рис.2.6), спираючись на дані таблиці 2.1, можна розрахувати LS і ES і знайти три інші величини: EF = ES + t; LP = LS + t; R = LS – ES = LF – EF.

Роботи	ES	EF	LS	LF	R
1-2	0	2	1	3	1
1-3	0	7	0	7	0
2-3	2	6	3	7	1
2-4	2	5	6	9	4
3-4	7	9	7	9	0

Т аблиця 2.1. Характеристики робіт

Рисунок 2.6

Аналіз проекту. Отримали критичний шлях –1-3; 3-4, де: резерв R= 0. Загальний термін реалізації проекту - ∑t_i = 9. Відхилення критичного шляху (дисперсія) =7/6 (3/6+4/6). Отримавши оцінки для кожної роботи, можна аналізувати проект в цілому із визначеннями:

- Критичний шлях – купка робіт проекту для якої час резерву R дорівнює 0. Затримка на цьому шляху будь-якої роботи приведе до такої ж за часом затримки проекту в цілому: 1-3 і 3 - 4.

Т – загальний час виконання проекту – сума очікуваного часу t виконання робіт на критичному шляху – 7+ 2 = 9.

V – відхилення (дисперсія) критичного шляху – сума відхилень v індивідуальних робіт критичного шляху – 3/6 + 4/6 = 7/6.

Приклад 2.2

Хай маємо мережний графік проекту (рис. 2.7), де стрічки - роботи, а у вузлах їх номери.

4

4

4

Рисунок 2.7 Мережний графік

Знизу стрілок у проекті наведено час в тижнях, що потрібний на виконання операцій, зверху - означення робіт.

Якщо проект починається з 0, то тривалість наступного вузла визначиться додаванням часу усіх попередніх. Так вузол 10 буде досяжним через 0+1=1 тижня, вузол 20 – у продовж 1+1=2 тижня. Якщо до вузла збігаються декілька робіт, то обирається найдовший шлях. Так до вузла 30 через D,E,F термін 4 тижні, через С – 4 тижні, через А,В – 6 тижнів. Усі три роботи будуть виконані не раніше ніж за 6 тижнів. Аналіз триватиме до останнього вузла – 9 тижнів (6+2(М)+1(N)).

Критичний шлях, як відомо, буде на шляху де немає затримок. Просуваючись у зворотньому напрямку визначимо найпізніші терміни закінчення робіт. Для цього з пізнього строку кожного вузла відраховуємо тривалість робіт і отримаємо пізній строк попередньої операції. Якщо від вузла відходять декілька стрічок – обираємо шлях з найменшим пізнім строком (інакше робота запізниться). Пізні строки запишемо знизу вузлів (рис. 2.8 )

Критичний шлях пройде по вузлах де значення зверху і знизу будуть однакові – А,В,М,N. Через вузол С робота не пройде, оскільки для її завершення потрібно 4 тижня із 6 можливих.

0

0

8

8

Рисунок 2.8. Упорядкований мережний графік ..

Для визначення резерву часу і озорості процесу результати зручно навести у вигляді таблиці (табл.2.2). Резервом у даному випадку будемо вважати час на який можна пересунути роботу не змінюючи термін виконання проекту в цілому. Тобто, значення резерву отримуємо якщо від найбільш пізнього строку віднімемо найбільш ранній строк початку і тривалість. Роботи у яких показники найбільш раннього і найбільш пізнього початку співпадають знаходяться на критичному шляху. Зауважимо при цьому, що не всі показники резерву є незалежні.

Таблиця 2.2. Параметри витрат часу

Робота	t	ES	LS	EF	LF	R
A	2	0	0	2	2	0
B	4	2	2	6	6	0
C	4	0	2	4	6	2
D	1	0	2	1	3	2
E	1	1	3	2	4	2
F	2	2	4	4	6	2
G	2	0	4	4	6	4
H	2	2	4	4	6	2
L	3	4	6	7	9	2
M	2	6	6	8	8	0
N	1	8	8	9	9	0

Скоротити час виконання проекту можна або зміною послідовності робіт, або прискоренням окремих робіт. Основна увага до критичного шляху. Якщо роботи А і В можна було проводити одночасно, то мали б виграш у 2 тижні. Той же виграш маємо, якщо роботу В скоротимо на 2 тижні. На більше скорочувати цю роботу неможливо оскільки до критичного шляху включиться і робота С. Чим більше скорочується проект тим більше шляхів стає критичними і тим самим ускладнюється подальше скорочення.

В мережних моделях контролюються терміни виконання робіт і витрати на їх реалізацію. Аналіз потребує додаткових матеріальних і часових витрат. Істотно, виникає задача визначення оптимальної черговості результатів проектування.

Мережний графік на основі трьох оцінок тривалості oперації

Якщо тривалість операцій можна встановити спираючись на минулий досвід або норми часу, то використовують наведений підхід, якщо цього бракує застосовують нові дані або суб’єктивні оцінки: оптимістичну, найбільш ймовірну і песимістичну (метод оцінки і перегляду плану-ОПП).

Оптимістична оцінка – найкоротший час, за який буде виконана операція при відсутності проблем.

Найбільш ймовірна оцінка – час, за який буде виконана операція у разі нормального співвідношення непередбачених ускладнень і вдачі.

Песимістична оцінка – найбільш тривалий час який потрібен для виконання операції, якщо траплятимуться всі можливі негаразди.

Приклад 2.3

Хай маємо три оцінки періодів робіт [14]:

а – оптимістичну (мінімальний термін у продовж якого може бути виконана операція - ймовірність того, що вона закінчиться у менший термін дорівнює 1)

b – песимистичну (максимально реальний термін у продовж якого операція повинна бути завершеною – ймовірність того, що вимагатиметься більше часу дорівнює 1);

m – найбільш ймовірна оцінка тривалості (це мода β-розподілення).

Визначення терміну тривалості кожної операції- ET (Exprested Time)

. Сутність процедури полягає в тому, що відповідно з концепцією β - розподілу тривалість фактичної операції має вагу у чотири рази більшу ніж оптимістична або песимістична оцінки.

Тобто, оцінкою тривалості операції слід вважати середнє виважене значення у якому найбільшу вагу має найбільш ймовірна оцінка, а найменшу вагу - мінімальна і максимальна тривалості (4:1:1).

Визначається дисперсія тривалості операції:

Імовірнісні оцінки розраховуються як корінь квадратний із суми дисперсій операцій які знаходяться на критичному шляху. Тобто, це середнє квадратичне відхилення послідовності операцій. Це значення підставляється у формулу аргументів функції Лапласа - , де: D – призначений строк закінчення робіт; Т – очікуваний термін завершення проекту (сума тривалості операцій на критичному шляху); - сума дисперсій довжини часу операції, що знаходяться на критичному шляху.

Із таблиці імовірностей для Z находяться ймовірності завершення проекту у вказаний термін (додаток. III).

Визначається ймовірність завершення проекту у призначений час. Оцінки ступеню невизначеності терміну завершення проекту визначаються таким чином: а) додаються значення дисперсій усіх операцій на критичному шляху; б) означення вводиться у формулу - .

Приклад 2.4

Маємо пакет робіт (рис. 2.9) з такими оцінками характеристик (табл.2.3):

Таблиця 2.3. Значення оцінок робіт

Робота	а	m	в
1-2	3	4	5
1-3	1	3	5
2-4	5	6	7
3-4	6	7	8

Рисунок 2.9

Таблиця 2.4 Результати розрахунку значень

Робота	а+4m+в	t	в-а/6	σ
1-2	24	4	2/6	4/36
1-3	18	3	4/6	16/36
2-4	36	6	2/6	4/36
3-4	42	7	2/6	4/36

Таким чином, у разі економічного аналізу проектів побудованих на так званих “моделях часу” , процедури визначенням необхідних параметрі можна навести на такому прикладі (табл.2.5):

Таблиця 2.5 Аналіз проекту на основі трьох оцінок

Найменування операції	Означен-ня	а	m	b	ЕТ=	σ2=
Конструювання	А	10	22	26	21	9
Виготовлення зразка	В	4	4	10	5	1
Вибір обладнання	С	4	6	14	7	2,78
Тестування	D	1	2	3	2	0,11
Закупівля обладнання	E	1	5	9	5	1,78
Розробка технології	F	7	8	9	8	0.11
Складання звіту	G	2	2	2	29	0

В мережних моделях контролюються терміни виконання робіт і витрати на їх реалізацію. Аналіз потребує додаткових матеріальних і часових витрат. Істотно, що виникає задача визначення оптимальної черговості операцій і результатів проектування.

Прирощення вартості проекту в умовах дострокового закінчення

Моделі виду “час-витрати” спираються на концепцію взаємозв’язку між термінами виконання проекту і його вартістю. Справа в тому, що витрати на дострокове виконання проекту – це прямі витрати операції, витрати на підтримку проекту - це коственні. Прямі і непрямі витрати діють як різноспрямовані і задача полягає в тому, щоб знайти компроміс, тобто, визначити таку тривалість проекту, де ці витрати зводяться до мінімуму.

Прирощення витрат визначиться із відношення- ,

де: СС – вартість довгострокового виконання операції;

С – нормальна вартість;

Т – нормальний термін, що відповідає нормальній вартості;

СТ – найменший строк за який можна виконати операції (довжина

довгострокового терміну.

Реалізація таких моделей передбачає декілька етапів. Розглянемо їх на конкретному прикладі.

Приклад 2.5

Хай коственні витрати у продовж восьми днів залишаються незмінними, а потім кожний день збільшуються на 5 грн.

1. Розбудова мережного графіку, що включає вартісні оцінки: найменшу вартість(очікувану найменшу вартість операції) –NC, нормальний термін(час, що відповідає нормальній вартості)-NT, тривалість дострокового виконання операції(найменший строк у продовж якого можна виконати роботу)-CT, вартість дострокового виконання роботи – CC.

Рисунок 2.10

Як приклад розглянемо роботу А і для наочності на графіку покажемо прирощення вартості роботи при скороченні на один день (рис.2.11).

2. Визначається прирощення вартості у разі дострокового виконання операції за одиницю часу (табл.2.6 ). Тобто денне прирощення –Q = (CC-NC)/(NT-CT).

Рисунок 2.11 Вартість скорочення роботи

3. За вже відомими нам методами визначається критичний шлях: A-B-D = 10 днів.

Таблиця 2.6. Прирощення вартості проекту у разі дострокового закінчення

Опера-ції	CC-NC	NT- СT		Денне прирощен. вартості при достр. виконанні	Можна скоротити операції, дні
A	10-6	2-1	10-6/2-1	4	1
B	18-9	5-2	18-9/5-2	3	3
C	8-6	4-3	8-6/4-3	2	1
D	9-5	3-1	9-5/3-1	2	2

4. Скорочується критичний шлях із мінімальним прирощенням вартості.

Процедура починається з ісходного нормального графіку, де скорочується критичний шлях на 1день за рахунок вилучення цього терміну із операції з найменшою вартістю. Знову робиться перерахунок і відшукується новий критичний шлях. Процедури повторюються до тих пір, доки тривалість проекту не відповідатиме вимогам (табл.2.7 ).

Таблиця.2.7 Скоригована матриця проекту

Критичний шлях	Роботи і дні на які можна скорочувати ці роботи	Прирощення вартості при достроковому скороченні	Роботи з min вартістюю	Сумарна вартість роботи	Тривалість проекту
ABD	Нормальні ст. роки і вартість усіх операцій			26	10
ABD	A-1, B-3, D-2	A-4, B-3, D-2	D	28	9
ABD	A-1, B-3, D-1	A-4, B-3, D-2	D	30	8
ABD	A-1, B-3	A-4, D-3	B	33	7
ABCD	A-4, B-2, C-2	A-4, B-3, C-2	A٭	37	6
ABCD	B-2, C-1	B-3, C-2	B, C٭٭	42	5
ABCD	B-1	B-3	B	45	5

5. Розбудовується графік прямих, коствених і загальних витрат (рис.2.12), відшукується точка мінімальних витрат за даними таблиці 2.7.

Рисунок 2.12 Графіки витрат

Висновки. Коственні витрати у продовж 8 днів постійні і лише опісля зростають з інтенсивністю 5грн /день. Якщо скласти коственні і прямі витрати кожного дня, отримуємо криву загальної вартості проекту. Із рисунку мінімальне (збалансоване) значення вартості проекту-40 (10+30) приходиться на восьмий день.

Приклади і задачі для практичної і самостійної роботи

Приклад 2.6 (Приклад узагальненого аналізу)

Фірма уклала договір із будівельною організацією для розбудови виробничого підприємства. Будівельна фірма зацікавлена в тому, щоб завчасно знати строки завершення усіх робіт, які роботи потрібно виконати з підвищеною інтенсивністю, де можна час виконання збільшити (в цьому випадку витрати на виконання відповідних робіт знизяться, зменшиться і загальна вартість проекту).

Фірма-підрядник складає список усіх робіт, що будуть виконуватися з початку будівництва до його завершення. Роботами вважаються такі дії, тривалість яких достатньо наближена із таким ступенем деталізації, який є достатній для бажаної точності розрахунків. Наприклад: постачання необхідних матеріалів на будівельний майданчик; підведення електрики; закладення фундаменту цеху; прокладання труб теплоцентралі. Список може включати сто і більше основних робіт. В наступному, роботи упорядковуються – створюється логічно-фукціональна мережа (фундамент, наприклад, закладається раніше ніж стіна, або вказується, що деякі роботи можна виконувати одночасно (одночасно закладати фундамент під декілька об’єктів). Після цього розбудовується мережна модель будівництва в цілому (рис.2.13).

Рисунок 2.13. Модель черговості робіт у вигляді мережного графіку

Результат виконання кожної роботи зображуються у вигляді мережі із відповідною нумерацією. Якщо формально робота і передує роботі j , а величина t_ij означає, що робота j може бути закінченою через термін t_ij після закінчення і-ї роботи, умовно-графічна модель матиме такий вигляд

Мережну модель створено. За її допомогою отримується відповідь на таке запитання: за який найменший час будівництво може бути закінчено?. Із всього комплексу робіт виділяються дві найбільш значущі: першу з якої починається будівництво і останню, якою воно закінчується. Визначається найбільш тривалий шлях між цими роботами. Такий шлях, як нам відомо, зветься критичним шляхом, а роботи через які він проходить – критичними роботами. Ці роботи потрібно починати виконувати як тільки з’явиться така можливість. Зауважимо, якщо затриматись з виконанням критичної роботи, то відсувається час закінчення всього будівництва. При цьому для кожної некритичної роботи є якийсь інтервал свободи, у продовж якого вона може бути виконана без шкоди для строку завершення всього будівництва.

Із цього витікає практичний сенс: якщо керівник побачить, що порушується графік якоїсь із критичних робіт, то для усунення недоліків він може використати частину ресурсів, пересунувши їх з некритичної роботи, але таким чином щоб в подальшому все ж таки не вийти при можливості за її межі вільності. В іншому випадку строки закінчення будівництва будуть відсунуті.

Якщо строки критичних робіт не порушуються, то може мати сенс зменшити інтенсивність виконання некритичних робіт, оскільки зниження інтенсивності веде до зниження вартості цих робіт, тобто знижуватиметься вартість всього будівництва. В загальному сенсі, щоб застосовувати підходи на практиці достатньо вміти відшукувати критичний шлях у мережному графіку і інтервали свободи для окремих робіт. Для цього існують спеціальні алгоритми.

Один з таких алгоритмів створено американськими математиками Р.Беллманом і С. Калабой. Введемо додаткові умови. Так, якщо мережний графік не має відрізка, що з’єднує роботи і і j, то будемо вважати, що t_ij = ∞. Окрім того призначимо t_i = 0. В такому разі задача з математичної точки зору полягає в наступному: знайти такий шлях М = [Е₁,Е_і(1), Е_і(2), …, Е_і(к), Е₀] , де: Е₁…, Е_n – роботи, n – число робіт, що t_i(1) + t_{i(1) I(2)}+ …+ t_i(k)n досягатиме максимуму.

В основі методу рішення цієї здачі покладено метод динамічного програмування (див. розд.7.2.1). Щоб описати процедуру формально, величину максимального шляху від початкової вершини і до кінцевої вершини означимо як U_i (i = 1,2,…, n-1). Пошук критичного шляху відбуватиметься у декілька етапів. На першому етапі визначимо величини: ; , які означатимуть тривалість часу, що необхідний для того щоб “дістатись” від і-ї вершини до n-ї за один крок. Далі визначатимуться значення . . , які є величинами максимальних шляхів, що з’єднують вершини ij з вершиною n і складених із двох ланок. За такою схемою крок за кроком можна визначити: , i=1,2,…, n-1; j=1,2,…, n; до тих пір доки не будуть виконані умови . Знайдене значення буде означати величину критичного шляху, що з’єднує першу і n-у вершини , а число k вкаже, із скількох ланок цей шлях складається.

Зауважимо, якщо мережний графік складається із n вершин, то для того щоб відшукати критичний шлях достатньо n-2 етапів послідовних розрахунків.

Процедури реалізації подібних алгоритмів у числовому виразі можна спостерігати на прикладі 2.7.

Приклад 2.7

Хай маємо мережний графік (рис.2.14)

Рисунок 2.14 Реалізація алгоритму у вигляді мережного графіку

Для зручності наступних розрахунків можна побудувати матрицю (табл.. 2.8), яка вказує, між якими вершинами графіку можливі пересування. У напрямку, де пряме пересування неможливе (стрічки в мережі відсутні), ставиться символ - ∞.

Зробимо відповідні розрахунки. Числовий матеріал для розрахунків маємо з матриці розміщення умов пересування (табл. 2.8).

Таблиця 2.8. Матриця прямих зв’язків

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	2	2	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	10	- ∞
2	- ∞	0	- ∞	6	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞
3	- ∞	- ∞	- ∞	4	1	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞
4	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	1	2	- ∞	9	- ∞
5	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	4	- ∞
6	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	4	7
7	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	2	- ∞	- ∞
8	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	4	9
9	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	8
10	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	0

При цьому використано той факт, що будь-яке число у сумі із - ∞ знову дає - ∞. Результати розрахунків зводяться в перехідну таблицю 2.9 і підсумкову – 2.10.

Таблиця 2.9. Процедури розрахунків

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	7	- ∞	9	8	0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	- ∞	7	- ∞	9	8	0
2	18	- ∞	- ∞	17	12	12	11	9	8	0

Таблиця 2.10. Підсумкова матриця задачі

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1						7		9	8	0
2	18			17	12	12	11	9	8	0
3	18	23	21	17	12	12	14	9	8	0
4	25	23	21	17	12	12	14	9	8	0
5	25	23	21	17	12	12	14	9	8	0

Останні дві стрічки співпадають. Звідси висновок, що критичний шлях знайдено – він складається із чотирьох ланок, що з’єднують вершини 1, 2, 4, 9, 10. Величина критичного шляху дорівнює 25. Це означає, що комплекс робіт на даному мережному графіку не може буди закінчено швидше ніж за 25 одиниць часу, починаючи із моменту завершення першої роботи.

З’ясуємо, який інтервал свободи, наприклад, у роботі 3. Чи обов’язково починати її відразу після завершення роботи 1?. Ні. Є резерв у 2 одиниці часу, оскільки для того щоб не затримувати виконання робіт, що на критичному шляху, тривалість виконання робіт 1,3,4 повинен бути не більше тривалості робіт 1,2,4. Різниця між цими тривалостями складає дві одиниці часу. Це означатиме, що роботу 3 можна починати на 2 одиниці пізніше, або виконувати з меншою інтенсивністю (у 2 рази), використовуючи ресурси для виконання критичних робіт. В обох випадках загальна тривалість виконання всіх робіт не зміниться.

Такий підхід може бути реалізовано у машинному варіанті у пакеті прикладних програм "Оптимізатор".

Задачі з рішеннями і відповідями

Задача 2.1А

Розрахувати критичний шлях, термін завершення проекту Т і дисперсію V, використовуючи наступну інформацію.

Китичний шлях складається з 1 2 4 5 6 робіт

Т = 2 + 2 + 4 + 5 = 13; V = 2/6 + 4/6 + 2/6 + = 1.5

Таблиця 2..11. Розраховані параметри мережного графіку

Работи	E	σ	E S	E F	L S	L F	R
1-2	2	2/6	0	2	0	2	0
1-3	3	2/6	0	3	1	4	1
2- 4	2	4/6	2	4	2	4	0
3- 4	4	4/6	3	7	4	8	1
4- 5	4	2/6	4	8	4	8	0
4- 6	3	1/6	4	7	10	13	6
5- 6	5	1/6	8	13	8	13	0

Задача 2.2А

В графічному проекті, щоб відкоректувати мережний графік слід призначити фіктивну роботу і подію (рис.2.15а,b,2.16.). Знайдіть графічне рішення:

Р ішення:

Рисунок 2.15а

. Рисунок 2.15b

Рисунок 2.16. Вірний мережний графік

Задача 2.3А

Зробити аналіз критичного шляху при наявності такої інформації, що наведена у графічному і табличному варіантах. Означте кількісні параметри на мережному графіку.

Рішення:

Роботи	t	σ	E S	E F	L S	L F	S
1-2	2	1/6	0	2	2	4	2
1-3	2	1/6	0	2	0	2	0
2- 4	1	2/6	2	3	4	5	2
3- 4	3	2/6	2	5	2	5	0
4- 5	4	4/6	5	9	5	9	0
4- 6	3	2/6	5	8	9	12	4
5- 7	5	1/6	9	14	9	14	0
6-7	2	2/6	8	10	12	14	4

Починаємо із визначення ES, EF, LS, LF, S і формуємо таблицю.

На підставі даних таблиці, скориставшись „моделями часу” визначаємо критичний шлях, значення Т і σ. Критичний шлях складають роботи: 1-3; 3-4; 4-5; 5-7. Т = 2 + 3 + 4 + 5 = 14; σ = 1/6 + 2/6 + 4/6 + 1/6 = 8/6

Задача 2.4А

Розрахувати ймовірність завершення проекту при умові t_min= 4 годин, Т_задан= 10 годин, t_max= 9 годин, Т_р= 8 годин

Рішення: , де: Т_задан - заданий строк закінчення; Т_р- ранній час завершення; σ –середньо квадратичне відхилення. Найбільш ймовірний строк відхилення від проекту приймається = 7 годин.

В такому разі ; ;

Задача 2.5А

Було розраховано, що період створення проекту складається із -Т = 62 тижні, σ² = 81. Яка імовірність того, що проект буде завершений за 18 тижнів до визначеного терміну закінчення.

Рішення: Бажаний термін завершення проекту = 44 (62 – 18) тижням. Крива нормального роcподілу.

Якщо виходити з того, що нормальна крива симетрична і таблиця розрахована для значення Z, імовірність знаходження в бажаній частині площі = 1 – (додаток .. ). Для Z = +2,0 ця вірогідність = 0,977. Тому для значення Z = -2,0 ймовірність буде = 0,022 (або 1- 0,977). Звідси імовірність завершення проекту на 18 тижнів раніше терміну, що очікується = 0,02 або 2%.

Задача 2.6А

Визначити мінімальні додаткові витрати, що обумовлені зменшенням дати завершення проекту на 3 місяці.

Робота	t міс.	М, міс.	С,R
1-2	6	2	400
1-3	7	2	500
2-5	7	1	300
3-4	6	2	600
4-5	9	1	200

Означимо: М_і –максимально можливе зменшення тривалості роботи; С_і – додаткові витрати, що спричинені зменшенням часу виконанням роботи і-та. У такому разі витрати на одиницю зниження часу:

Рішення:

1-й крок – визначення ES, EF, LS, LF, R

Роботи	E S	E F	L S	L F	R
1-2	0	6	9	15	9
1-3	0	7	0	7	0
2- 5	6	13	15	22	9
3- 4	7	13	7	13	0
4- 5	13	22	13	22	0

Відповідно із значеннями S, критичний шлях включає роботи: 1-3, 3-4, 4-5

2-й крок. Визначаємо коефіцієнт вартості К кожної роботи (С_і / М_і).

Роботи	Мі	Сі	К	Критичний шлях
1-2	2	400	200	Ні
1-3	2	500	250	Так
2- 5	1	300	300	Ні
3- 4	2	600	300	Так
4- 5	1	200	200	Так

3-й крок. Виділимо роботу на критичному шляху яка має найменше значення К – це робота 4-5. В результаті можемо зменшити час виконання проекту на 1 місяць (М = 1 міс.) при додаткових витратах – 200 грн. Будемо продовжувати зменшувати час виконання проекту на 2 місяці. Досягається це згідно місцю витрат, відповідних роботам критичного шляху, за рахунок зменшення тривалості виконання – 1-3 на два місяці з додатковими витратами =500.

Загальний результат рішення буде виглядати так:

Робота	Скорочення тривалості роботи, місяць	Додаткові витрати, грн
4-5	1	200
1-3	2	500
Загальні витрати при скороченні проекту на 3 місяці		700

Задача 2.7А

На підприємстві є поточна лінія для збирання виробу. Технологічний процес складається із операцій першого і другого рівня ієрархії.

Операції	Елементи операцій	Тривалість -t	Залишок, що не зайнят	Елементи, що залишились
Операція-1	А С	50 20	22 2	С ні
Операція-2	D F	45 25	27 2	E,F ні
Операція-3	B E G	40 20 10	32 12 2	F G ні
Операція-4	H	35	37	ні

Для відлагоджування лінії і підвищення ефективності роботи необхідно зробити такі процедури: побудувати мережений графік роботи, визначити необхідну кількість робочих місць при умові попиту на вироби = 400 одиниць виробів за день, збалансувати поточну лінію.

Рішення:

Робочі місця: . Зробіть аналіз мережного графіку.

Задача 2.8А

Після експертного аналізу робіт і параметрів мережного графіку, менеджер фірми отримав показники оцінок оптимістичного, найбільш ймовірного і песимістичного часу їх виконання. Далі менеджер вирішив поглибити аналіз і розрахувати очікуваний час виконання цих робіт і дисперсії (в тижнях).

Роботи	a	m	b	t	Дисперсія
A	2	3	4	3	1/9
B	1	2	3	2	1/9
С	4	5	12	6	16/9
D	1	3	5	3	4/9
E	1	2	3	2	1/9

Мережна модель вказує на напрямки і зв'язки між роботами. Розглянути процедурні питання аналізу стану проведення робіт. Зробіть висновки.

Задача 2.9А

Зобразити наведені в таблиці умови у вигляді мережного графіку.

Робота	Попередні роботи	Робота	Попередні роботи
А	-	E	B
B	-	F	С, E
С	A	G	D
D	B	H	F ,G

Зробіть аналіз і висновки.

Приклади рішення задач із використанням комп’ютерного інструментарія

Методи і приклади

Розподіл ресурсів у часі

Усяку роботу у спрощеному вигляді можна описати як: T_i³ = T_i^п + t_i, де T_i³ – час закінчення i-ї роботи; T_i^П – час початку i-ї роботи; t – термін потрібний для виконання i-ї роботи. У символьному опису це може виглядати як кортеж моделі: T^П_і+і = f(L, T_i^П, t_i), де: L – логічна і технологічна залежність робіт.

Роботи можуть бути: послідовні - (T^П_і+і = T^з _і); паралельні (2, 3, 4); T₂^П = T₃^П = T₄^П; T ^з_2,3,4 = max (T₂ ^з, T₃ ^з, T₄ ^з); комбіновані.

Роботи, що є паралельними мають залишок часу: ∆_і = T^з _{2, 3, 4} – T_і^з . Роботи, що не мають залишка часу розміщені на критичному шляху.

Напиклад [14]. Потрібно виконати 5 робіт, котрі мають черговість, що наведена на рисунку :

Таблиця 2.12 і рисунок послідовності операцій

Формування таблиці часових характеристик

Алгоритм

1.Скласти таблицю логічної послідовності робіт (табл.2.12)

2. Сформувати таблицю часових характеристик і ввести вихідні дані (табл.2.13).

Таблиця 2.13. Робоча матриця

У клітинки діапазону D4:J8 ввести формули: D4:=0; D5…D7=$E4;

D8:=макс(G5…G7). У діапазоні E4:E8 – формули: D4:=D4+C4…D8+C8. У клітинки діапазону F4:F8 – формули: D4-D$4….D8-D$8. Клітинки діапазону G4:G8 зайняті відповідно формулами:= С4......=С8. В клітинки діапазону Н4:Н8 ввести формули: Н4: =G4-C4;H5:=макс(E$5:E$7)-E5; H6: =макс(E$5:E$7)-E6; H7:=макс(E$5:E$7)-E7; H8: =макс(E$5:E$7)-E8. D. В клітинках діапазону J4:J8 відповідно повинні розміститись формули: =ЕСЛИ(H4=0, “Критичний шлях”, “Є резерв”)………= ЕСЛИ(H8=0, ”Критичний шлях”, “Є резерв”). У клітинки діапазону С4:С8 ввести фактичні витрати часу на кожну роботу. Отримуємо таблицю для побудови лінійного графіку (табл.2.14)

Таблиця 2.14. Результати розрахунків

Алгоритм побудови графіку.

Виділити у підсумковій таблиці діапазон В3 : В8 і F3 : Н8

Майстер діаграм

В діалоговому вікні вставити параметри :

- Крок 2 – лінійчата

- Крок 3 – вид 3

- Крок 4 – ряд даних у стовпцях

- Крок 5 – додати легенду (ввести назву діаграму і осі У)

Маємо вмонтований лінійний графік.

Поставити курсор на полі діаграми

- ЛМ2. На екрані з’являється виділений лінійний графік

- ЛМ2

Призначити:

- рамка – невідома

- колір – білий

- колір діаграми – білий

Виставити курсор на стовпчик “очікування” будь-якої з робіт. Клацнути - ЛМ2. Призначити фарбування білого кольору

- Курсор за межі діаграми. ЛМ1. На екрані маємо відформатований лінійний графік (рис.2.17 ). Графік пов’язаний з таблицею 2.14 і нова зміна параметрів буде відображена.

Рисунок 2.17. Графічний вираз результатів розрахунків

Якщо при управлінні проектами строкові характеристики визначені в датах, то реалізується такий алгоритм:

1. Виділити в табл. 2.14 діапазон DН4:DН8;

2. Формат – Ячейки – Число – Дата ;

3. Обрати потрібний формат;

4. В D4 ввести початкову дату для першої роботи.

Таблиця 2.15. Матриця управління строками виконання робіт

Будемо мати таблицю(2.15), що управляє датами виконання робіт.

Оптимальний розподіл ресурсів у часі

Задача може вирішуватись у двох постановах:

1.мінімізація часу виконання робіт при заданих ресурсах;

2.мінімізація ресурсів, що забезпечують виконання робіт у заданий термін.

Постановка задачі перша: ; t_i = Q_i/R _i ; T^п_і+і = f (L_i, T^п_і, t_i).

T ^з_i = T^п_і + t_i; R_i ≤ R^k_i; Q = Q^к; T^п_і = T^k_i;

Q_i – потрібна трудомісткість і-ої роботи;

R_і – ресурс для і-ої роботи;

t_i – час;

k– регламентована дія (задані ресурси).

Друга постановка: ; t_i = Q_i / R_i

T^п_і+і = f (L, T_i^п, t_i); T^з_i = T^п_і + t_i; T^з _n ≤ T^k_n; Q = Q^к_i; T^п₁ = T^к₁; .

Задачі вирішуються як задачі нелінійного програмування оскільки відносини t_i = Q_i / R _i нелінійні.

У табличній формі (для зручності) запис формул для розрахунків буде таким:

Таблиця 2.16. Табличний алгоритм визначення критичного шляху

	ti	Ri	TП	Tз	Очікув.	Тривал.	Резерв
1			=0	=TП1+t1	=TП1-ТП1	=t1	=t1-t1
2			=Tз1	=TП2+t2	=TП2-ТП1	=t2	=max(Tз2,3,4)-Tз2
3			=Tз1	=TП3+t3	=TП3-ТП1	=t3	=max(Tз2,3,4)-Tз3
4			=Tз1	=TП4+t4	=TП4-ТП1	=t4	=max(Tз2,3,4)-Tз4
5			mах(Тз2,3,4)	=TП5+t5	=TП5-ТП1	=t5	=t5-t5

Алгоритм рішення:

1.Скласти таблицю логічної послідовності робіт (табл. 2.16 ).

2.Сформувати робочу розрахункову таблицю (табл.2.17):

Таблиця 2.17. Робоча таблиця оптимізації розподілу ресурсів

3. В комірках діапазонів Е14:Е18 і Н14:М18 (мають позначки 0) необхідно ввести формули. У відповідних комірках діапазону Е14:Е18 розміщуються формули:=С14*D14…….C18*D18. В діапазоні Н14:Н18 комірка Н14 містить 0, комірки Н15...Н17 мають формулу: =I$14, а комірка Н18 формулу: =макс(I15:I17). У відповідних комірках діапазону I14:I18 вводяться формули: =Н14+С14..........Н18+С18, а в комірках діапазону J14:J18 треба ввести фрмули :J14::=I14-H!4; J15:=I15-H$14; J16:=I16-H$14; J17:=I17-H$14; J18:=I18-H$14. В відповідних комірках діапазону К14:К18 ввести формули:=С14.......=С18, в комірках L14 :=K14-C14, в комірках діапазону L15:L17 відповідно формули: = max(I$15:I$17)-I15……..=max(I$15:I$17)-I17, а в комірці - L18:=K18-C18. Комірки діапазону М14:М18 містять формули: =ЕСЛИ(L14=0.”Критичний шлях”, “Є резерв”)…….=ЕСЛИ(L18=0, “Критичний шлях”, “Є резерв”).

У комірки діапазону С14 : D18 вводять початкові значення ( ≥ 0) змінних t_i i R_i, які необхідні для вирішення задачі (табл. 2.18).

Таблиця 2.18. Робоча матриця з вхідними даними

Рисунок..2.18. Реалізація оптимізуючої функції Excel

4.СЕРВИС Поиск решения (рис .2.19).

5. У діалоговому вікні ввести:

-цільову функцію J18, мінімізувати;

-змінні клітинки С14 : D18;

- дату початку проекту - Н14 = 0.

6. Ввести умови позитивності: С14 ≥ 0; С15 ≥ 0; D18 ≥ 0.

7. Ввести умови трудомісткості P_i = P^k : E14 = F14 … E18 = F18.

8. Ввести умови для ресурсів R_i < R^k : D14 ≤ G14; D15 ≤ G15 … D18 ≤ G18. Виконати.

Маємо результат рішення (табл.2.19-2.20)

Алгоритм

1. Зробіть вихідну таблицю оптимального розподілу ресурсів (табл. 2.19).

2. Термін виконання робіт C14: С18 копіювати в комірки G6:G10 (табл.2.20 ) і закруглити.

3. Ввести відповідні значення в комірки С6 : С10.

4. Заповнити графу “виконавець”.

5. Перейти у режим представлення дат:виділити діапазон D6 : Е10;

6. Формат – ячейка – дата – тип. ОК.

На підставі таблиці 2.20 операційний менеджер може:

- скласти завдання кожному виконавцю;

- визначити витратні роботи;

- розрахувати узагальнений показник.

Таблиця 2.19. Результати оптимізації розподілу ресурсів

Таблиця 2.20. Розподіл ресурсів серед конкретних виконавців

Інструментарій вирішення задач управління проектами на основі графіку Ганта

Якщо проект розглядати як комплекс взаємопов’язаних операційних дій, спрямованих на підвищення ефективності виробництва і надання послуг, то оболодіння інструментом аналіза, оцінки і прийняття управляючих рішень для менеджменту слід вважати обов’язковим .

Структурно проект включає:

- початкове планування;

- врахування практичного стану організації;

- встановлення і аналіз причини відхилення фактичного стану від плану;

- вироблення і прийняття відповідного рішення.

Для управління нескладними проектами зручним і поширеним інструментом є графік Ганта. Недоліками цього інструментарію вважається те, що він адекватно не відображує зв'язок між виконаними роботами, ресурсами і не позбавляє ускладнень із датуванням виконання робіт. Між тим метод простий в оволодінні, оперативний і цілком придатний для вирішення прикладних операційних задач.

Застосування графіка Ганта в керуванні проектами і ресурсами.

Використання Excel, як інтментарію, контроля за проектами процедуру робить зручною. Типовий вигляд календарного графіку контролю виконання

комплексу робіт, що створено засобами ExceL наведено на рис. 2.19 і 2.20).

Рисунок 2.19 Календарний графік Ганта

Рисунок 2.20 Календарний графік наявності ресурсів у комплексі з статичною діаграмою Ганта.

Графік і динамічні діаграми Ганта зручно використовувати для спостереження за наявністю матеріальних ресурсів, завантаження робітників.

Алгоритм створення динамічного календарного графіку і діаграми Ганта при управлінні проектами

Суттю діаграми є те, що часова шкала динамічно пересувається. Управління здійснюють формули, що посилаються на значення тижнів. У вигляді ресурсів можуть бути літери, або числа, або імена. На рис. 2.21 формула у клітинці G8 пов’язана з 4 комірками: G6, C8, D8 і F8.

1. Встановіть початок шкали часу – 1.12.03.

2. Зробіть прирощення на тиждень для кожної послідуючої комірці на шкалі часу (в H6 введена формула = G6 + 7 і подовжена до кінця графіку).

3. Введіть дату початку етапу 1 у комірку (C8).

4. Введіть формулу, що буде розраховувати дату закінчення етапу (в D8 розміститься формула = C8 + E8).

5. Введіть значення ресурсу – F8.

6. Введіть формулу, що буде виконувати основні розрахунки – G8: формула має вигляд = ЕСЛИ (И (G$6  $C8; G$6 < $D8);” “ ).

7. Скопіюйте формулу (пересуванням) в інші клітинки праворуч.

Рисунок 2.21 Динамічний графік Ганта

8.Зв’яжіть початок кожного послідуючого етапу з початком першого. У клітинку C9 введіть формулу = C8 + 7.

9.Додайте “Умовне форматування”, щоб завершити формування календарного графіку (рис.2.22)

Рисунок 2.22 Вікно Ехсеl -2000 “Умовне форматування”

10.Для перевірки замініть дату початку проекту. Дати початку всіх етапів повинні змінюватись.

Накладання проектів

На практиці коли організація реалізує декілька проектів, або складний проект з багатьма етапами виникає потреба управляти ними на період виконання. Тобто, потрібно розраховувати витрати на кожному етапі.

Припустимо, що проекти А і В накладаються один на інший. Якщо на другому етапі витрати на одиницю продукції складають Х = 7, то складається кількість продукції, виробленої на другому етапі проектів за перший тиждень і перемножується на значення Х. Формулу копіюють в інші комірки вздовж часової шкали і отримують витрати на кожний тиждень (рис.2.23).

Контролювати термін виконання проекту можна спираючись на базову стрічку, згорнувши етапи проектів.

Рисунок 2.23 . Загальний розгорнутий вигляд графіку при накладанні проектів