Матеріал для самостійної підготовки і практики
Задачі з рішеннями і відповідями
Задача 4.1А
Організація використовує 5 верстатів. Верстати періодично виходять із ладу. Час налагодження верстата займає 10 хвилин і розподілений експоненціально. Поломки в середньому трапляються через 70 хвилин згідно розподілу Пуассона. Які головні характеристики системи ремонту.
N = 5; M = 1 канал; Т = 10 хвилин; U = 70 хвилин.
. Для Х
= 0,125 і М
= 1
а). F = 0.92 і Д = 0,473
б). Н – середнє число верстатів, що ремонтуються:
FNX = (0.92)∙ (5) ∙(0.125) = 0.575.
в). Середнє число в черзі: L = N (1-F) = 5(1-0.92) = 0.4 верстата
г).Середнє число працюючих верстатів: J = NF (1-X) = 5∙(0.92)∙(1-0.125) = 4.025 верстата.
д). Імовірність знаходження верстата поза чергою: 1-D = 1 – 0,473 = 0,527.
Задача 4.2А
Маємо багатоканальну СМО де інтенсивність потоку А=1, швидкість обслуговування – с = 1, кількість каналів – n = 4. Визначити основні характеристики СМО.
Рішення:
Інтенсивність навантаження :
;Наявність замов в черзі:
;Наявність замов в системі:
;
4. Ймовірнісні характеристики системи:
a).
Імовірність того, що в черзі одна замова:
.
Імовірність того, що в системі чотири
замови:
.
б).
Ймовірність того, що в системі немає
замов:
;
в).
Імовірність того, що замова буде
обслугована:
.
г).
Кількість замов в черзі - n:
;
д).
Кількість замов в системі:
;
е).Очікування
в черзі:
;
в системі:
;
Задача 4.3А
В пункті тхніччного обслуговування у продовж 1 години прибуває 10 автомобілів. Швидкість обслуговування 1-го автомобіля – 5 хвилин. Визначити завантаження каналу, кількість авто в черзі та середній час очікування в системі.
Рішення:
;
;
;
години
= 24,9 хвилин;
годин
= 30 хвилин.
Задача 4.4А
Шпиталь має 5 ліжко-місць, що відводяться хворим які потребують термінової допомоги. Кожні 2 години поступає один хворий (у відповідності з розподіленням Пуассона ). На реєстрацію і первинне обстеження медична сестра витрачає 30 хвилин (експоненційне разподілення). Якщо одночасно з’являться 5 пацієнтів встають два питання: яка кількість пацієнтів буде в черзі до медичної сестри і який середній термін чекання у черзі до кожної із двох сестер. Тобто маємо: N = 5 пацієнтів; M = 2 канали обслуговування; T = 30 хвил.; V = 120 хвил.
Рішення:
.
Для Х
= 0.20 і М
= 3, F
= 0.976. В такому разі середня кількість
пацієнтів у черзі: n
=
FNX
=
(0.976)·(5)·(0.20)
=
0.98.
Cередній
термін очікування в черзі -
хвил.
Задача 4.5А
Відкрили бюро для надання довідок. Роботу по операції виконує один службовець. Клієнти прибувають з інтенсивністю – 20 осіб/година. Відповідь на запитання клієнт отримує через 2 хвил. Прибуття клієнтів підпорядковане розподіленню Пуасона, час надання відповіді має експоненційне разподілення.
А). Яка імовірність того, що службовець має вільний час;
Б). Визначити час у продовж якого службовець зайнято;
В). Кількість осіб які обслуговуються і чекають;
Г). Визначити середню кількість клієнтів в черзі до бюро;
Д). Середній час, що витрачається на одну особу;
Е). Середній час на одну особу, що витрачається у черзі за довідкою.
А).
; Б).
;
В).
особи
; Г).
;
Д).
;
Е).
Задача 4.6А
Апарат, що видає каву в готелі має швидкість 4 чашки за хвилину. Бажаючі скористатися такою послугою надходять із інтервалом 3 особи за хвилину. Розрахувати параметри цієї сервісній системи.
А).
Кількість осіб у черзі:
Б). Термін
очікування в черзі -
В). Особи,
які знаходяться в системі і обслуговуються
-
Г).
Витрати часу на обслуговування однієї
особи -
хвилин.
Задача 4.7А
Службовець отримує за роботу 5 грн/годину. Витрати фірми у виразі невдоволення клієнта оцінюється у 12 грн/година чекання у черзі. Розрахувати середні витрати за 8 годин чеканння.
Якщо в середньому клієнт очікує 0.667 годин (див. попередню задачу), а за день обслуговується 160 осіб (8 ·20), то витрати часу будуть: 160·0.667=10.67 годин, або у грошовому еквіваленті – 128 грн/день. З врахуванням платні службовця – 40 грн/день (8 годин ·5 грн) загальні витрати бюро за день складуть 168 грн (128+40)
Задача 4.8А
Організація має 5 приладів і одного механіка. Час на ремонт одного приладу 20 хвилин. Прилади потребують ремонту через кожні 90 хвилин. Описати параметри системи.
Рішення: n = 5 од.; M=1 канал; T = 20 хвилин; V = 90 хвилин.
1.
.
За таблицею для М=1
та Х=0,18
F=0,92
і D=0,473;
2. Середня
кількість ремонтованих приладів:
H=FNX=
;
3. Середня
кількість приладів в черзі:
;
4. Середня
кількість працюючих:
;
5. Імовірність знаходження станку поза чергою: 1-D = 1- 0,47 = 0,53.
Задачі з відповідями
Задача 4.1В
Механік обслуговує 5 автоматів. Поломки - 1 за кожні 6 днів. Поломки мають тенденцію до розподілу Пуассона. Проводить ремонт 1 разів на день. Час ремонту підлягає експоненціальному розподілу:
А). Яка кількість верстатів чекає ремонту;
Б). Яка кількість верстатів в середньому працює;
В), Який буде термін очікування ремонту, якщо додати другого механіка:
А) 0,54;
Б) 3,81;
В) 0,772 дні.
Задача 4.2В
Заробітна платня службовця 3 грн/годину. Невдоволення покупців – 5 грн/годину. Знайти суму витрат, якщо за 1 годину обслуговується 15 осіб і час очікування покупця – 0,5 години.
Рішення:
1) 8
;
або
гривень;
3·8=24 грн.; 30+24=74 грн..
Задача 4.3В
Покупці надходять до автомата згідно розподілу Пуассона – 4 особи/мін. Автомат видає чашку кави з постійною швидкістю - 1 в 10 сек.
А). Яке середнє число осіб в черзі! – 0,666
Б). Яке середнє число моделей в системі? – 1,333
В). Як довго людина очікує у черзі? – 10 секунд.
Задача 4.4В
Імовірність того, що заявка буде розглянута = 0,85. Подано 800 замовлень. Яка імовірність того, що замова, яка розглядається (та що цікавить нас) буде знаходитись в черзі на обслуговування між номерами 550 та 600.
Рішення: p=0,85; n=800.
;
;
;
;
550<m<600;
;
;
.
Задача 4.5В
Функціонує 4-х канальна система. За 1 годину обслуговується 60 осіб. Очікування однієї людини складає 0,08 години. Оцінка невдоволення очікування коштує – 5 грн/год. Яка загальна сума витрат за день?
Рішення:
Всього обслуговується за день:
осіб;Витрати на очікування:
год.;Вартість невдоволення:
грн.;Зарплатня 4-х клерків:
грн.;
5.
Загальні витрати:
грн./день.
Задачі для самостійного вирішення
Задача 4.1С
Час ремонту верстата – 10 хв. Верстатів – 5. Зупиняються (ламаються і вимагають ремонту) через 70 хв. Описати характеристики одноканальної системи: F = 0,9, Д = 0,5.
Задача 4.2С
Необхідно досягти 95% гарантії того, що черга в системі не буде перевищувати 3 авто. Визначити: завантаження клерка; яка інтенсивність його роботи відповідатиме гранічної межі ?
Задача 4.3С
У довідковому бюро 1 службовець. Швидкість потоку 15 осіб/година. Витрати часу на довідку 1,5 хвил. Дослідити систему і визначити:
Імовірність наявності вільного часу у службовця.
Величину часу зайнятості.
Число клієнтів, що обслуговуються, і що очікують надання послуги
Кількість клієнтів у черзі.
Витрати часу на обслуговування одного клієнта.
Середній час чекання в черзі.
Задача. 4.4С
Відбувається проектування центру зайнятості. Інтервал між надходженням замовлень клієнтів 4 хвилини. Середній час обслуговування заявок 5; 3,5; 2; 1 та 0,5 один./хвилин. Розрахувати параметри СМО та зробити вибір варіанту багатоканальної системи. Побудувати розрахункову матрицю. Виходячи з умов аналізу характеристики складових блоків СМО, розрахувати варіанти кращого проекту .
№ п/п |
Інтервал надходження |
Варіанти середнього часу обслуговування |
||||
5 |
3.5 |
2 |
1 |
0,5 |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
Задача 4. 5С
В пункті обслуговування автомобілів прибуття 15 авто на годину. Швидкість обслуговування 1 автомобіль - 3 хвилини. Визначити: завантаження клерка; середню кількість автомобілів в черзі; час очікування.
Задача 4.6С
Фірма має декілька альтернативних варіантів характеристик параметрів автозаправочної станції (див. табл.4.2). Оберіть на пілставі цих даних найкращій варіант. Скористайтесь при цьому наведеними у примітках формулами. Зробіть коментарі щодо обраного варіанту (див. приклад задачі 4.3А).
Таблиця 4.2 Варіанти характеристик СМО
-
№
п/п
Інтервал прибуття
Середній час обслуговування
1
2
3
4
5
6
1
4
6
6,5
5
3
2
1
2
5
4
4,4
5,3
6
6,2
6
3
8
12
10
8
7,8
5
4
4
6
7,5
7
5,5
4
2
1,5
5
3
6
5
4
3,3
2
1,3
6
2
3
2,5
2,2
1,6
1,4
1,2
7
5
7
6
4
3
2
2
8
6
7,6
6,2
5,8
5,2
4
3,3
9
3
4,3
4,3
2,8
2,9
3,7
2,6
10
5
5,1
4,8
3,7
4,2
3,9
3,5
11
9
10,5
8,7
11
7,5
6
5
12
10
8,5
8,9
11,2
9,3
9
4
13
4
3,3
2,1
4
4,1
3,8
5
14
7
6
6,5
7,5
5,2
3
2
15
8
7
7,5
8,1
9
4,5
3
16
6
5
5,5
5,9
4
12
10
17
4
4,5
3,5
3
2
5
4
18
8
7,6
7,9
8,2
6,7
5
3
19
9
4
6
7
8,5
9,2
6,6
20
13
8,5
6,6
5,3
11,3
11
9
21
24
27
26
22,3
22,9
22
20
22
22
21
20
0,5
3
27
23
23
3
3,9
3,4
2,9
2,2
2
1
24
2
1,3
1,5
1,8
1,9
2,1
2
25
12
12,5
11
10
10,5
13
9
26
9
10
10,3
11
8,5
5,5
6,8
Примітка:
- завантаження;
-
прстої;
-
клієнтів в системі;
-
довжина черги;
- час в системі;
- в системі
Для рішення задачі можна скористатись автоматизованою системою розрахунків основних параметрів СМО, процедурний фрагмент якої наведено на рис. 4.1.
Комп’ютерний інструментарій визначення характеристик СМО є зручним у практичному використанні і надає можливості машинної імітації при обранні варіантів аналізу.
Рисунок 4.1 Фрагмент прикладного пакету визначення характеристик СМО
Задача 4.7С
Фірма використовує комбінований метод обслуговування: а) видає оформлені замовлення в ручному режимі; б) обслуговує клієнтів (видача бланків) в автоматизованому режимі.
В ручному режимі клерк за 1 хвилину обслуговується одна людина, автомат у продовж цього часц чьотири . Надходження клієнтів 60 осіб/година.
Визначити параметри двох працюючих систем, обчислити витрати і імовірність того, що розглянуті будуть всі замови і обслужені всі клієнти в черзі за бланками.
Порівняти продуктивність двох режимів, визначити скільки необхідно відкрити додаткових каналів в ручному режимі, щоб порівнятися по продуктивності з одним автоматом. Які витрати несе фірма від використовування ручного режиму. При цьому врахувати, що зарплата клерка = 5 грн/година, невдоволення клієнта – 3 грн/годину.
Задача 4.8С
Апарат
працює зі швидкістю 3 порції за 1 хвилину.
Потік – 2 особи/хвилину. Визначити
параметри СМО -
.
;
;
;
.
Питання до дискусії з теми
Дайте відповіді і пояснення
1. Назвіть найбільш важливі операції, що характеризують чергу.
2. Наведіть приклади ситуацій у яких має сенс обмеження черги.
3. Чи є поява пацієнтів у приймальні лікаря такою, що підпорядковується закону випадковості? Чи є випадковим час прийому?
4. Що таке теорія черг? Які компоненти їй притаманні?.
5. Які основні складові системи масового обслуговування?
6. Які можуть бути устрії блоків обслуговування?
7. Який може бути порядок обслуговування черг?
8. Якими показниками характеризуються системи масового обслуговування?
9. Як визначаються основні показники, що характеризують СМО у випадку експоненціального розподілення ймовірностей надходження заявок і ймовірностей часу на обслуговування?
10. Вкажіть найбільш важливі операційні характеристики черг.
11. Наведіть приклади 4-х ситуацій, в яких має місце обмеження довжини черги.
12. Що таке теорія черг? Які компоненти властиві чергам?.