§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
Две перпендикулярные
оси на плоскости с общим началом 
и одинаковой масштабной единицей
образуют декартову прямоугольную
систему координат на плоскости. Одну
из указанных осей называют осью 
или осью абсцисс, другую осью 
или осью ординат. Оси
и
называются также координатными осями.
Пусть 
– основания перпендикуляров, опущенных
из произвольной точки
плоскости, на оси
и
соответственно. Декартовыми прямоугольными
координатами 
точки
будем называть величины направленных
отрезков 
и 
осей
и
соответственно. Координаты
точки
называются соответственно абсциссой
и ординатой. Тот факт, что точка
имеет координаты
,
обозначается следующим образом: 
.
Аналогично вводятся декартовы прямоугольные координаты в пространстве.
Три взаимно
перпендикулярные оси в пространстве с
общим началом в точке
и одинаковой масштабной единицей
образуют декартову прямоугольную
систему координат в пространстве. Одну
из указанных осей называют осью
или осью абсцисс, другую осью
или осью ординат, третью – 
или осью аппликат.
Пусть 
– основания перпендикуляров, опущенных
из произвольной точки
пространства на оси 
соответственно.
Декартовыми
прямоугольными координатами 
точки
будем называть соответственно величины
направленных отрезков
,
и 
.
Координаты
называются соответственно абсциссой,
ординатой и аппликатой точки
.
Тот факт. Что точка
имеет координаты
обозначается следующим образом 
.
§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
Вектором называется
произвольный направленный отрезок. В
дальнейшем, для обозначения вектора,
будем пользоваться символом
,
где
– начало, а
конец данного направленного отрезка,
либо одной латинской буквой, снабженной
чертой, либо просто жирной латинской
буквой, например 
или 
На чертеже будем изображать вектор
стрелкой, причём букву обозначающую
этот вектор будем ставить у его конца.
Начало вектора
называется точкой его приложения. Длина
вектора обозначается следующим образом
или
.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и имеет длину равную нулю.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Все нулевые векторы считаются равными.
Суммой двух векторов
и
называется вектор, идущий из начала
вектора
в конец вектора 
при условии, что вектор
приложен
к концу вектора
.
Данное правило сложения двух векторов называется правилом треугольника.
Очевидно, что этот
же вектор
+
для
неколлинеарных векторов 
может
быть получен, как диагональ параллелограмма,
построенного на векторах 
Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.
Правило сложения векторов обладает следующими свойствами:
(Коммутативность сложения)
(Ассоциативность сложения)Существует нулевой вектор
,
такой что 
для любого вектора
.
Для любого вектора существует противоположный к нему вектор
,
такой, что
.
Доказательство свойств 1 и 2 для неколлинеарных векторов проводится непосредственно построением.
Для коллинеарных векторов свойства 1, 2 доказать самостоятельно.
Свойство 3 очевидно.
Свойство 4. Очевидно,
так как для любого вектора 
существует вектор 
,
такой что 
.
Т.е. 
.
Разностью векторов
и
называется такой вектор 
,
что 
.
Разность векторов
обозначается
.
Теорема 3.1.
Для любых векторов
существует
и притом единственная разность 
Доказательство.
Рассмотрим
вектор 
.
Тогда 
.
Следовательно существует разность
.
Докажем единственность
разности векторов
.
Пусть 
- разность векторов
,
тогда
Следовательно
если
- разность векторов
,
то 
.
Единственность доказана.
Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов позволяет построить и разность , как другую диагональ параллелограмма.
Свойства 1 -4 позволяют распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов.
Сумма любого
конечного числа векторов может быть
построена с помощью следующего правила:
если приложить вектор 
к концу вектора 
,
вектор 
к концу вектора
,
…, вектор 
к концу вектора 
,
то сумма 
представляет собой вектор, идущий из
начала вектора
к
концу вектора
.
Естественно назвать это правило сложения векторов правилом замыкания ломаной до многоугольника.
Произведением
вектора
на
число
называется вектор 
,
коллинеарный вектору
,
имеющий длину 
и направление, совпадающее с направлением
вектора
в случае 
и противоположное направлению
в
случае 
.
Замечание.
В случае, когда 
,
или 
произведение
представляет собой нулевой вектор,
направление которого не определено.
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
;
Свойства 5 – 7 доказываются одинаково. Приведём доказательство свойства 5 для неколлинеарных векторов и при условии (случай рассматривается аналогично).
Приложим векторы
в общую точку
.
Построим вектор 
,
как диагональ параллелограмма,
построенного на векторах
.
Пусть 
- конец вектора
(
Т.к.
,
то векторы 
и
(
имеют одинаковые направления. Пусть
- точка пересечения прямой 
и прямой, проходящей через точку
,
параллельно вектору
.
- точка пересечения прямой 
и прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
.
Тогда четырёхугольник 
является параллелограммом. Следовательно
С другой стороны,
из подобия треугольников 
,
и треугольников 
следует, что
Из равенств (2) и
(3) следует, что 
,
.
Т.к. 
и
имеют
одинаковые направления, получим
Аналогично
.
Учитывая полученные выражения 
,
найдем 
.
Доказательство свойства 5 для случая коллинеарных векторов и для случая привести самостоятельно.