§5.Системы общего вида

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему

, (1)

где , , .

Теорема 5.1.(Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть - расширенная матрица системы (1). В силу теоремы 3.1 главы 1, матрицу путем элементарных преобразований строк и перестановками столбцов можно привести к матрице - верхней трапециевидной формы. Применяя эти преобразования к расширенной матрице , получим систему

(2)

эквивалентную системе (1). В силу теоремы 6.3 гл.1

. (3)

Заметим, что матрица неизвестных может отличаться от матрицы только нумерацией неизвестных.

Система (2) является системой с верхней трапециевидной матрицей. В силу результатов §4 главы 2, система (2) совместна тогда и только тогда, когда

. (4)

Заметим, что при выполнении равенства (4), матрица является матрицей верхней трапециевидной формы, полученной из матрицы путем элементарных преобразований. В силу теоремы 6.3 гл.1

. (5)

Из равенств (3), (4)и (5) следует, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда .

Метод Гаусса исследования и решения системы. Метод Гаусса исследования и решения системы уравнений состоит в приведении её к системе с верхней трапециевидной матрицей, и последующим исследованием и решением получившейся системы.

Согласно теореме 3.1 §3 главы 1, основная матрица системы элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме. Если используемые при этом элементарные преобразования применить к расширенной матрице , то мы придём к системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой могут отличаться от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. Данное отличие возникает, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы . Поэтому после решения приведённой системы с верхней трапециевидной матрицей, необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.

Из проведённых выше рассуждений следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 5.2. (О структуре множества решений) Любая система линейных алгебраических уравнений c основной матрицей , расширенной матрицей и числом неизвестных либо совместна и имеет единственное решение ( , либо совместна и имеет бесконечное множество решений ( , либо не имеет ни одного решения ( .

Пример 1. Исследовать и решить систему

Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме

Система с последней расширенной матрицей несовместна.

Пример 2. Исследовать и решить систему

Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме.

Пример. Исследовать и решить систему

Построить её общее решение, указать какое-нибудь частное решение.

Элементарными преобразованиями приведём расширенную матрицу системы к верхней трапециевидной форме

Как видим, свободными неизвестными будут и . Выразим через них главные неизвестные, решая уравнения системы

последовательно снизу вверх.

Итак, общее решение системы имеет вид .

Частное решение системы получится, если в её общем решении задать значения свободных неизвестных, например, положить их равными . Тогда . Следовательно - частное решение.