5. Площадь поверхности вращения.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на сегменте . Пусть, кроме этого, её производная также непрерывна на указанном сегменте. Тогда для площади поверхности, образованной вращением графика функции вокруг оси , справедлива формула
Формула (15) приводится без доказательства.
В качестве
иллюстрации вычислим площадь трилистника,
т.е. плоской фигуры, ограниченной линией
,
где
- некоторое положительное действительное
число
Из рисунка видно, что вся площадь трилистника равна
6. Физические приложения определённого интеграла.
Пусть 
линейная плотность неоднородного
стержня, расположенного на сегменте
оси
.
Рассмотрим интегральную сумму функции
на сегменте
,
отвечающую произвольному выбору точек
Данная сумма даёт приближённое значение массы стержня, тогда значение этой массы будет равно пределу суммы (16) при стремлении к нулю наибольшей длины частичных сегментов, т.е будет равно интегралу
Второй классический пример физического приложения определённого интеграла – это вычисление работы по перемещению материальной точки из точки оси , в точку под действием силы , параллельной оси .
Интегральная сумма функции на сегменте
отвечающая произвольному разбиению сегмента и произвольному выбору точек , даёт приближённое значение искомой работы, а предел этой интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей длины частичных сегментов, т.е. интеграл
даёт точное значение этой работы.