2. Площадь криволинейного сектора.
Пусть кривая
задана в полярных координатах уравнением
,
где 
- неотрицательная и непрерывная на
сегменте
функция. Плоскую фигуру, ограниченную
кривой
и двумя лучами, составляющими с полярной
осью углы
и
,
будем называть криволинейным сектором.
Докажем, что для площади криволинейного сектора справедлива формула
Доказательство.
Рассмотрим произвольное разбиение
сегмента
и выберем в
каждом частичном сегменте 
произвольную точку
.
Составим интегральную сумму функции
,
отвечающую данному разбиению и данному
выбору точек
.
Интегральная сумма
(7) равна площади веерообразной фигуры,
состоящей из круговых секторов радиуса
.
Так как площадь криволинейного сектора приблизительно равна площади веерообразной фигуры, то
Справедливость формулы (6) доказана.
3. Длина дуги плоской кривой.
Пусть в плоскости дана некоторая кривая , в направлении от к возьмём точки
.
Соединив
последовательно взятые на кривой
точки, получим
некоторую вписанную в кривую
ломаную. Обозначим через 
длину звена 
указанной ломаной, а через
- длину наибольшего из её звеньев 
.
Определение 6.1. Кривая называется спрямляемой, если существует предел , к которому стремится длина вписанной в эту кривую ломаной при стремлении к нулю её наибольшего звена. При этом указанный предел называется длиной кривой .
Предположим, что кривая представляет собой график заданной на сегменте функции .
Справедливо следующее утверждение: если функция имеет производную , непрерывную на сегменте , то длина кривой выражается формулой:
Доказательство.
Возьмём произвольное разбиение отрезка
точками 
и рассмотрим точки
кривой
,
имеющие координаты 
,
тогда точки 
определяют некоторую, в писанную в
кривую
,
ломаную. Длина -го звена указанной
ломаной равна
Пользуясь формулой Лагранжа
следовательно
Тогда длина вписанной ломаной равна
Правая часть
равенства (10) представляет собой
интегральную сумму непрерывной на
сегменте
функции 
,
отвечающей разбиению (9) и некоторому
выбору точек
.
Пользуясь тем, что при стремлении к нулю – наибольшего звена данной ломаной, к нулю стремится и наибольшая длина частичных сегментов, из равенства (10) получим
Тем самым утверждение доказано.
Замечание.
Рассмотрим случай, когда кривая
задана параметрическими уравнениями
,
при этом 
,
где функции
и 
имеют непрерывные производные
и 
на
.
В этом случае, сделав замену переменной
и, учитывая, что 
,
из формулы (8) получим
Т.е.
Замечание 2. Пусть теперь кривая задана уравнением в полярных координатах
,
где функция 
имеет непрерывную на
производную 
,
при этом радиус-векторы
и
точек
и
соответственно равны 
.
В этом случае, переходя к прямоугольным
координатам
,
получим параметрические уравнения
кривой
.
Тогда 
.
Пользуясь формулой (10), найдём
4. Объём тела вращения. Пусть на сегменте задана непрерывная и неотрицательная функция . Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , графиком функции и отрезком , равен
Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение сегмента точками
В каждом частичном
сегменте
возьмём точку 
.
На каждом частичном
сегменте
построим прямоугольник высоты 
.
При вращении вокруг оси
каждый прямоугольник опишет цилиндр.
Объём каждого такого цилиндра равен
,
где
.
Сумма объёмов всех цилиндров приближённо равна объёму данного тела вращения
C
другой стороны сумма в правой части
равенства (13) представляет собой
интегральную сумму функции 
на сегменте
.
Так как функция 
непрерывна, то предел этой суммы при
стремлении к нулю
наибольшей длины частичных сегментов,
существует и равен 
.
Следовательно, объём тела вращения
криволинейной трапеции вокруг оси
равен
