5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

Теорема 4.2. Пусть функции и имеют в точке пределы равные и соответственно. Тогда функции ,

и имеют в точке пределы, равные соответственно и . (в случае частного )

Доказательство. Пусть - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от . Тогда последовательности и сходятся соответственно к пределам и . Всилу теоремы 3.7, последовательности

и (при ) имеют пределы, соответственно равные и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что , , . Теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и пусть . Пусть, кроме этого, выполняются неравенства . Тогда существует и этот предел равен .

Доказательство. Пусть - произвольная, сходящаяся к последовательность, элементы которой отличны от . Тогда, соответствующие последовательности и сходятся и их пределы равны . Из условия теоремы следует, что , для каждого . В силу теоремы 3.9, существует . Следовательно, существует и и этот предел равен .

Теорема 4.3 доказана.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно малой функцией в точке , если . Аналогично определяются бесконечно малые функции при

.

Приведем эквивалентное определение бесконечно малой функции «на языке ».

Функция называется бесконечно малой функцией в точке , если для каждого положительного , существует такое положительное число , что как только будет выполняться неравенство

Теорема 4.4. Сумма и произведение двух бесконечно малых, при функций, являются бесконечно малыми функциями.

Следствие. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых, при функций являются бесконечно малыми функциями.

Справедливость приведённого следствия непосредственно вытекает из теоремы 3.4.

Функция называется ограниченной на отрезке , если существует такое положительное число , что для всех справедливо неравенство , или

Ограниченность функции означает, что график этой функции выходит из полосы и .

Функция называется ограниченной сверху на отрезке , если существует такое число , что для каждого

Функция называется ограниченной снизу на отрезке , если существует такое число , что справедливо неравенство , для каждого

Из сказанного выше следует, что функция ограничена на отрезке тогда и только тогда, когда она ограничена и сверху и снизу на отрезке .

Теорема 4.5. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.

Доказательство. Пусть – ограниченная функция, а - бесконечно малая при функция. Рассмотрим произвольную последовательность , сходящуюся к , элементы которой отличны от . Тогда последовательность является бесконечно малой последовательностью, а - ограниченной последовательностью. В силу теоремы 3.2 последовательность будет бесконечно малой, т.е. . Из последнего равенства следует утверждение теоремы.

Функция называется бесконечно большой функцией в точке (или при ), если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам , справедливо неравенство .

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при , или, что она имеет бесконечный предел в точке .

Если для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство , то будем говорить, что функция имеет в точке бесконечный предел, равный .

Если для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство , то будем говорить, что функция имеет правый бесконечный предел, равный .

Обозначение .

По аналогии определяются бесконечные левые пределы .

Теорема 4.6. Если функция является бесконечно малой в точке и в некоторой окрестности точки , то функция является бесконечно большой функцией в точке .

Доказательство. Пусть – произвольное положительное число и рассмотрим положительное число . Для этого числа существует положительное такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство или Следовательно, для всех , для которых верно неравенство . Это означает, что бесконечно большая функция в точке .