4. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано общее уравнение прямой, лежащей в плоскости . . Предположим, что коэффициенты отличны от нуля. . Тогда общее уравнение прямой можно записать в следующем виде

Вводя обозначения , последнее уравнение можно записать в виде

Уравнение (12) называется уравнением прямой в отрезках. Уравнение (12) имеет простой геометрический смысл: стоящие в нём числа равны величинам направленных отрезков , отсекаемых прямой на осях соответственно.

Замечание. Очевидно, что если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то приводить такое уравнение прямой к уравнению в отрезках невозможно.

Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля, и неполным в противном случае.

5. Неполные уравнения прямой.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1. . Тогда уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.

2. . Тогда уравнение определяет прямую, параллельную оси . (т.к. нормальный вектор ортогонален оси .

3. . Тогда уравнение определяет прямую, параллельную оси . (т.к. нормальный вектор ортогонален оси .

4. . Уравнение определяет ось .

5. . Уравнение определяет ось .

6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.

Пусть в плоскости заданы две различные точки и . Предположим, что

.

Пусть - прямая проходящая через точки и Выведем уравнение этой прямой. Очевидно, что ненулевой вектор является направляющим вектором прямой . Записывая каноническое уравнение прямой , как прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , получим

Уравнение (13) является уравнением прямой, проходящей через заданные две точки и , при условии, что .

Если , то очевидно, уравнением такой прямой будет . Если же

, то уравнением такой прямой будет .

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Введём понятие угла наклона прямой к оси . Предположим сначала, что прямая не параллельна оси . Углом наклона прямой к оси называется наименьший угол , на который нужно повернуть ось против часовой стрелки до совмещения с прямой. Если прямая параллельна оси или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси будем считать равным нулю.

Тангенс угла наклона прямой к оси назовём угловым коэффициентом этой прямой и обозначим через .

Итак, по определению .

Из определения углового коэффициента, в частности следует, что если прямая параллельна оси , то угловой коэффициент равен нулю. Если прямая перпендикулярна оси , т.е. не определен. В этом случае прямая не имеет углового коэффициента, хотя иногда формально говорят, что угловой коэффициент такой прямой равен бесконечности.

Пусть прямая проходит через данную точку и имеет угловой коэффициент . Выведем уравнение прямой.

Для этого убедимся в том, что для любой, не параллельной оси прямой, имеющей направляющий вектор , угловой коэффициент равен отношению .

Обозначим через угол наклона прямой к оси , а через 𝜑 – угол наклона направляющего вектора к оси и рассмотрим следующие четыре возможных случая.

В случаях 1 и 2 . Поэтому

В случаях 3 и 4 угол и поэтому

Таким образом, в случаях 1 и 2 получим , а в случаях 3 и 4

Итак, во всех четырёх возможных случаях .

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , имеющей направляющий вектор .

Из последнего уравнения имеем .

Обозначая через постоянную , получим

Уравнение (14) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В уравнении (14) коэффициент имеет простой геометрический смысл: он равен величине направленного отрезка , отсекаемого прямой на оси .