
- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
-1-
Глава 1. Матрицы
§1 Понятие матрицы
Основные понятия
и обозначения. Пусть
.
Матрицей размера
называется совокупность
чисел, записанных в виде прямоугольной
таблицы из
строк и
столбцов. При этом сами числа называются
элементами матрицы.
Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в скобки.
Элементы матрицы
обозначают строчными латинскими буквами,
снабженными двумя индексами:
– элемент
матрицы, расположенный в i-й
строке и j-м
столбце или коротко элемент в позиции
.
В общем виде матрица размера может быть записана следующим образом
Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
- множество всех матриц размера
;
- матрица
с элементами
в позиции
;
- матрица размера
.
Элементы
,
где
,
называются диагональными, а элементы
,
где
– внедиагональными. Совокупность
диагональных элементов
,
где
,
называется главной диагональю матрицы.
Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется
нулевой матрицей и обозначается символом
.
Заметим, что для
каждого размера
существует
своя нулевая матрица.
Матрица размера
называется квадратной матрицей n-го
порядка. Квадратная матрица называется
диагональной, если все её внедиагональные
элементы равны нулю. Диагональная
матрица, у которой все диагональные
элементы равны 1, называется единичной
матрицей и обозначается символом
или
.
Матрица размера
называется матрицей-строкой или
вектор-строкой. Матрица размера
называется матрицей столбцом или
вектор-столбцом.
--22
Матрицы
специального вида. Квадратная
матрица
называется верхней треугольной, если
при
,
и нижней треугольной, если
при
.
Общий вид треугольных матриц:
.
Заметим, что среди
диагональных элементов
,
,
…,
могут быть равные нулю элементы. Матрица
называется верхней трапециевидной,
если выполнены следующие три условия:
при ;
Существует такое натуральное число
, удовлетворяющее неравенствам
, что
.
Если какой-либо диагональный элемент
, то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.
Общий вид верхних трапециевидных матриц:
,
при
.
,
при
.
,
при
.
,
при
.
Отметим, что при , верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.
§2. Операции над матрицами
Равенство
матриц. Две
матрицы
и
одинакового размера
называются равными, если
,
,
.
Если матрицы
и
равны, то будем писать
.
Линейные
операции.
Суммой двух
матриц
и
размера
называется матрица
размера
,
элементы которой определяются равенством
Сумму матриц
и
будем обозначать
.
Матрица
называется противоположной к матрице
.
Теорема 2.1
Операция сложения матриц обладает
следующими свойствами: для любых матриц
и нулевой матрицы
; (перестановочность или коммутативность операции сложения
; (ассоциативность или сочетательное свойство)
Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме. Докажем свойство 4.
Разностью матриц
и
называется матрица
.
Разность матриц
и
будем обозначать
.
Произведением
матрицы
на число α называется матрица
,
элементы которой определены равенством
Произведение
матрицы
на число
будем обозначать
.
Теорема 2.2. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
(Распределительное свойство относительно сложения матриц);
(Распределительное свойство относительно сложения чисел);
.
Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения. Проверить справедливость указанных свойств поручается читателю.
Операции сложения
матриц и умножения матрицы на число
позволяют для произвольных матриц
одинакового размера
и произвольных чисел
однозначно определить матрицу
,
называемую линейной комбинацией матриц
с коэффициентами
.
Умножение
матриц.
Произведением матриц
и
называется матрица
,
элементы которой определены равенством
Произведение
матриц
и
будем обозначать
.
Из определения
следует, что произведение
определено лишь в том случае, когда
число столбцов матрицы
совпадает с числом строк матрицы
.
Это означает, что оба произведения
и
определены тогда и только тогда, когда
матрицы A
и B
имеют размеры
и
соответственно. Следовательно равенство
возможно лишь для квадратных матриц
одинакового порядка. Однако и в этом
случае произведение матриц, вообще
говоря, зависит от порядка сомножителей.
,
тогда
.
Следовательно
.
Матрицы и называются перестановочными или коммутирующими, если .
Теорема 2.3. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
(Свойство ассоциативности),
, для любого действительного числа α,
,
(Свойство дистрибутивности),
для любых матриц
,
для которых левые части равенств имеют
смысл.
Справедливость
свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.
В качестве иллюстрации приведём
доказательство первого равенства
свойства 3). Пусть
,
,
.
Матрицы
и
имеют одинаковый размер -
.
Пусть
– элемент матрицы
в позиции
,
- элемент матрицы
в позиции
,
тогда
Из равенств (1) и
(2) следует, что
,
что доказывает первое равенство свойства
3).
Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» [1].
Заметим, что ля
любой матрицы
и
единичных матрицы
и
A
=A,
=A.
Транспонирование
матриц. Пусть
.
Матрица
называется транспонированной к матрице
,
если
Транспонированная
матрица также обозначается символами
и
.
Заметим, что при
транспонировании матрицы её строки
становятся столбцами матрицы
,
с теми же номерами, а столбцы – строками.
Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:
,
, для любого действительного числа α,
,
,
для любых матриц и , для которых имеют смысл левые части равенств.
Свойства 1), 2), 4)
непосредственно вытекают из определения.
Приведём доказательство свойства 3).
Пусть
и
,
при таком согласовании размеров матриц
и
произведения
и
существуют, при этом размеры
и
совпадают и равны
.
Пусть
- элемент матрицы
в позиции
,
– элемент матрицы
,
- элемент матрицы
в позиции
.
что доказывает справедливость свойства 3).