2. 2. 2 Графическое дифференцирование.

Пусть имеем графикS (t) pис2.3S₀ -начальное отклонение. По графику для точки В, зная масштабы имеем

Скорость в любой момент времени есть . Дифференцируя S и t. получим ,-. элементарное перемещение за элементарное время , тогда

Для точки В, бесконечно близкой к точке В координаты равны . Отношение , где - угол наклона касательной в точке В. Учитывая это для скорости точки В имеем т. е. скорость пропорциональна отношению масштабов перемещения и времени и углу наклона касательной.

Рассмотрим методику графического дифференцирования. Зададим графикS(t). Разобьем ось на равное число отрезков и проведем в этих точках ординаты. В точках пересечения ординат с графиком S (t) проводим касательные.

Выбрав систему координат V, t на продолжении оси откладываем отрезок Н произвольной длины. Начало отрезка Н называется полюсом, а Н - полюсное расстояние. Из полюса проводим прямые параллельные касательным графикаS(t). Из точек пересечения касательных с осью V проводим прямые параллельные оси t и находим точки пересечения их (т. 1, 2, 3, и т. д.) с соответствующими ординатами из точек 1, 2, 3, и т. д. на осиt. Соединив полученные точки пересечения плавной кривой находим график скорости V(t).

Имеем и после деления второго выражения на первое . Из рассмотрения графиков S(t),V(t) следует:

1. Максимальной или минимальной ординате графика перемещений соответствует нулевая ордината графика скорости.

2. Точкам перегиба S(t) соответствует максимум или минимум графикаV(t).

Когда по графику V (t) нужно построить график ускорений, то связь между масштабами следующая

Рассмотренный метод дифференцирования носит название метода каса­тельных. Существует и метод хорд, обратный методу интегрирования с помощью хорд.

2.2.3 Графическое интегрирование.

Задан график V(t) рис.2.6. Аналитически задача интегрирования решается как гдеS₀- начальное перемещение. Зная масштабы, запишем: , тогда .

Интеграл в последующей зависимости есть площадь на графике скорос­ти между ординатамиV₀ и V₁ , где -квадратичный масштаб, F - площадь,

Таким образом, перемещение за время пропорционально площади, заключенной между ординатами начальной и конечной скорости за это же время, умноженной на квадратичный масштаб.

Рассмотрим технику интегрированиярис. 2.6. Делим график ордина­тами. Получаем четырехугольники с криволинейным очертанием. Заменяем площадь этих фигур, площадью равновеликого прямоугольника. Прямые 1-1, 2-2, 3-3 и т. д. следует проводить так, чтобы заштрихован­ные площади были равны. На продолжении оси t графикаV(t) влево откладывает полюсное расстояние Н. Полюс соединяем с точками на оси OV пересечения её с прямыми 1-1, 2-2. Из начала координат графика S(t) проводим хорды параллельные соответствующим прямым графикаV(t) выходящим из полюса. Эти прямые на графикеS(t) при пересечении с ординатами из точек разметки оси определяют переме­щение в выбранный момент времени 0, 1, 2, 3, т. д.

Рассмотрим подобные треугольники

или

откуда .

Лекция 5

План лекции