7.2. Основная теорема зацепления. Полюс зацепления. Центроиды колес.

Основная теорема зацепления устанавливает связь между геометрией сопряженных поверхностей зубьев и заданным законом их относительного движения, т.е. определяет условия, которым должны удовлетворять боковые профили зубьев для того, чтобы они могли обеспечить передачу вращения с одного вала на другой с заданными угловыми скоростями.

Пусть передача вращения между валами O₁ и О₂ осуществляется с угловыми скоростями ₁ и ₂ посредством двух взаимноогибаемых кривых 1 и 2 (рис. 7.2). К - точка контакта. Скорости точек K₁ и К₂ различны по величине и направлению:

V_k1= ₁₁; V_k1O₁K;

V_k2= ₂₂; V_k2O₂K;

где _i - радиус кривизны.

Для правильного контакта зубьев необходимо, чтобы проекций этих скор остей на общую нормаль к профилям были равны:

V_K1ⁿ=V_K2ⁿ (7.1)

Действительно, если V_K1ⁿ>V_K2ⁿ то первый профиль будет вдавливаться во второй. Если V_K1ⁿ<V_K2ⁿ, то первый профиль будет отставать от второго, нарушиться непрерывность контакта. И то и другое недопустимо.

V_K1ⁿ=V_K1cos₁=₁₁cos₁=₁O₁N₁;

V_K2ⁿ=V_K2cos₂=₂₂cos₂=₂O₂N₂

Из (7.1) имеем: ₁O₁N₁=₂O₂N₂ или

=

Ho O₁N₁PO₂N₂P, откуда ==

Окончательно получаем:

U₁₂= = (7.2)

Основная теорема зацепления (теорема Виллиса): нормаль в точке контакта профилей делит линяю центров на части» обратно пропорциональные угловым скоростям.

Точка пересечения Р называется полюсом зацепления. Если U₁₂=const, т. Р неподвижна, если U₁₂=const, то т. Р - подвижна.

Траектория точки контакта зубьев при ее движении относительно неподвижного звена зубчатой передачи, которая при линейном контакте зубьев определяется в ее главном сечении, называется линией зацепления.

Полюс является мгновенным центром вращения в относительном движении звеньев 1 и 2. Геометрические места точек на звеньях, которые при их движении последовательно совпадают с полюсом, называются центроидами. При U₁₂=const центроиды - окружности.

Воображаемые окружности, жестко связанные с колесами, между которыми осуществляется передача вращательного движения, называются начальными. Начальные окружности обкатываются друг по другу без скольжения.

Следует отметить, что V_k1^V_k2^ вызывает относительное скольжение профилей:

V_K1^=V_K1sin₁=₁₁sin₁=₁N₁K;

V_K2^=V_K2sin₂=₂₂sin₂=₂N₂K

V_ck=₂N₂K-₁N₁K=₂N₂K+₂KP+₁KP

В общем случае

V_ck=KP(₁₂) (7.3)

где + - для внешнего зацепления;

"-"- для внутреннего.

Как видно в полюсе скольжение равно нулю, и по мере удаления от него - увеличивается.

7.3. Цилиндрическая эвольвентная зубчатая передача.

Профиль зуба - это основной параметр, обеспечивающий нормальную работу передачи.

Для получения постоянного передаточного отношения в современном машиностроении наиболее широкое распространение получило эвольвентное зацепление. Боковые профили зубьев в нем очерчены по эвольвенте. Это зацепление предложено Л.Эйлером.

a)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

1

2

₁

₂

₂

₁



v

1

2

Рис.7.1. Классификация цилиндрических зубчатых передач.

2

₁

О₁

₁

₁

N₁

K

1

P

₂

₂

₂

O₂

N₂

n

Рис.7.2. К основной теореме зацепления.

эвольвента

А



R B₁

прямая

В





A производящая

r_b

O

Основная

окружность

М

_{Рис.7.3 Эвольвента окружности}

головка

Левый

профиль