4.7. Метод квадратичного приближения.

Функцию представляют в виде полинома:

D(z)=A[P₁f₁(z)+P₂f₂(z)+…+P_nf_n(z)-F(z)] (4.14)

где A_iP_i - коэффициенты, зависящие от заданных и искомых параметров

f_i(z) - функции, зависящие только от исходных пара­метров

P_i находят из системы линейных (или нелинейных) уравне­ний по условию

, что гарантирует минимум ( S путь) отклонения кв. Решение все равно приближенное.

Пример, Пусть надо реализовать функцию S=kd² (S путь). Будем осуществлять эту функцию кривошипно-шатунным меха­низмом (рис. 4. 7)

Рис. 4. 7 К методу квадратичного приближения.

Составляем уравнения

Sz_i=0 l₁cos(j₀+s)+l₂cosq=z_c

Sy_i=0 l₁sin(j₀+s)+l₂sinq=0

Перемещение будет идеальным, если l₂. будет переменным, поэтому обозначим l₂ как l_2т /требуемое/. Возводим уравнения в квадрат и складываем

L_2T²=z_C²-2l₂z_C(cosj₀+s)+l₁²

За текущую функцию принимаем

D(z)=l₂²-l_2T²=D(s)

D(z)=A[P_if_i(s)+P₂f₂(s)+P₃f₃(s)]=F(s)

Например, для данного случая, получим

A=1, P₁=2l₁cosj₀, f₁(s)=z_ccoss

Система для нахождения P_i :

a₁₁P₁+a₁₂P₂+a₁₃P₃=b₁

a₂₁P₁+a₂₂P₂+a₂₃P₃=b₂

a₃₁P₁+a₃₂P₂+a₃₃P₃=b3

Где, a₁₁…a₃₃ - коэффициенты системы уравнении, которые определяются по формулам:

Решение по этому методу несколько точнее, чем по пре­дыдущему методу.

Тема 5 Синтез плоских рычажных механизмов (4 часа)

Лекция 21

План лекции

5.1 Основные условия и ограничения при синтезе.

5.2 Синтез четырехзвенного кривошипно-коромыслового. механизма по трем положениям, аналитическим методом.

5.3 Синтез четырехзвенного кривошипно-коромыслового механизма по двум крайним положениям коромысла, коэффициенту изменения средней скорости и допускаемому углу давления.

5.1 Основные условия и ограничения при синтезе.

В зависимости от требований к характеру работы механизмов синтез проводят:

1. По нескольким заданным положениям звеньев.

2. По отдельным кинематическим параметрам /скорости, коэффициенту изменения средней скорости, угловому ускорению и т.д./

3. По заданной траектории точки /например, прямая линия, окружность/.

4. По заданной функции.

Перечисленные параметры могут быть выбраны в качестве основных условий синтеза - целевых функций. Однако при реали­зации этих функций необходимо учитывать и дополнительные ус­ловия синтеза - ограничения, которыми могут явиться:

1. Конструктивное ограничение длин звеньев и минимальные габариты.

2. Условия проворачиваемости звеньев.

3. Максимальные допустимые углы давления.

4. Точность воспроизведения заданного закона.

Синтез может проводиться аналитическими или, графическими методам. Рассмотрим основные из этих методов.

5.2 Синтез четырехзвенного кривошипно-ползунного коромыслового механизма по трем положениям аналитическим методом.

Для рассматриваемого механизма /рис. 5.1/ известен закон движения коромысла .

Требуется определить размеры звеньев этого механизма при которых может быть реализована заданная функция т.е. неизвестными являются: . Для уменьшения количества неизвестных с четырех до трех, размеры представим виде относительных величин:

В соответствии с этим количеством неизвестных, используя метод интерполирования на некотором участке функции наметим три точки в которых заданная и реально воспроизводимая зависимость пересекаются.

Рис.5.1 Кривошипно-коромысловый механизм.

3

2

1

Рис. 5.2 Функции положения.

Для этих точек можно записать следующие уравнения

(5.1)

Представим механизм в виде замкнутого векторного контура. Тогда из условия замкнутости

(5.2)

В проекциях на координатные оси уравнение(5.2) можно представить в виде:

Разделим все члены уравнения (5.3) на l₁ и перегруппируем члены. Так как:

Возводя уравнения в квадрат и складывая, получим:

Обозначим: , тогда уравнение 6 примет вид:

С учетом i=1..3, и зависимостей (5.1) для трех положений механизма можно записать три уравнения

(5.3)

Неизвестными в системе нелинейных уравнений (5.3) являются . Решение этих уравнений с целью определения неизвестных целесообразно проводить на компьютере, используя специальную подпрограмму библиотеки математического обеспечения .

После определения на компьютере искомых неизвестных, задаваясь величиной l₁ находят размеры остальных звеньев механизма.