4. 4. Синтез механизмов на основании заданной целевой функции.

Перепишем (4.1) в виде: D_B(z)=z(z)Dz (4. 2)

где D_B(z) "взвешенная" разность отклонение), z(z) некоторая непрерывная функция, необращающаяся в нуль на заданном интервале изменения параметра z. Эта функция называется "весом" и, в частном случае, может быть постоянной.

Введение взвешенного отклонения позволит ошибку представить в виде полинома

D_B(z)=P₀f₀(z)+P₁f₁(z)+…+P_nf_n(z)+f_n+1(z) (4.3)

где P₀,P₁…P - члены полинома, а функция f0(z),f1(z) только от переменного параметра z .

Для пояснения сказанного рассмотрим кулисный меха­низм с качающимся ползуном 3 (рис. 4. 3). Запишем выраже­ние для отклонения и взвешивания отклонения траектории точки Д от некоторой прямой x=l.

Рис.4.3 К определению целевой функции механизма

За переменный пара­метр z примем из­меняющееся расстояние l_BC ,являющееся функцией угла поворота кривошипа :

Запишем выражение для координаты x_D:

Составим целевую функцию:

D(z)=x_D-l=A(P₀+P₁z+P₂1/z+z²) (4.4)

где A=-1/2l₃; P₀=2l₃l-l₃²-l₁²; P₁=-l₂; P₂=-l₂(l₃²-l₁²);

Перепишем (4) в виде взвешенного отклонения:

D_B(z)=D(z)1/A=P₀+P₁z+P₂1/z+z²

где 1/A - вес

Необходимо так подобрать постоянные параметры l₁; l₂; l₃, чтобы траектория точка Д максимально приближалась к заданной прямой x=l.Поставленная задача решается приближенными методами. Ниже рассмотрим интерполяцион­ный метод и метод наилучшего приближения функций.

4. 5. Интерполяционный метод синтеза механизмов.

Интерполяционный метод синтеза, его сущность за­ключается в том, что на участке приближения F(z) к j(z) отклонение или взвешенное отклонение при некоторых зна­чениях z_i назначаемых в заданных пределах z₀ £ z £ z_m принимаются равными нулю (рис. 4.4). Таким образом, в точках z₁,z₂ кривые F(z) и j(z) пересекаются. Такое интерполирование называется точечным. Эти точки называются узлами интерполирования. Очевидно, что в узлах интерполирования:

P₀f₀(z₁)+P₁f₁(z₁)+…+P_nf_n(z₁)+f_n+1(z₁)=0

P₀f₀(z₂)+P₁f₁(z₂)+…+P_nf_n(z₂)+f_n+1(z₂)=0

P₀f₀(z_k)+P₁f₁(z_k)+…+P_nf_n(z_k)+f_n+1(z_k)=0

Понятно, что число узлов интерполирования должно быть равно числу независимых па­раметров (размеров механизма), подлежащих определению. Нап­ример, в рассматриваемом ку­лисном механизме, при задан­ном значении межосевого рас­стояния l₃ имеем три неизвестных параметра l₁, l₂, l₃.

Следовательно, для приближения функции F(z)=xD к x=l необходимо назначить три интерполяционные точки и соста­вить три уравнения (7).

Лекция 20.

План лекции.

4.6. Синтез механизмов методом наилучшего приближения функций.

4.7. Метод квадратичного приближения.

4.6. Синтез механизмов методом наилучшего приближения функций.

Для того, чтобы функция F(z) наименее отклонялась от j(z) необходимо, чтобы максимальные абсолютные значения отклонения D_B(z)max или D(z)max были минимальными. Этому условию приближения интерполяционный метод не удовлетворя­ет.

Основоположником теории наилучшего приближения функций П. Л. Чебышевым доказана теорема о том, что существует такая система параметров Р₀, Р₁…Р, для которой максимальные отклонения будут минимальными по абсолютной величине, и до­стигают они этих предельных значений не менее (n+2) раза, последовательно меняя свой знак ( рис. 4.5). Обозначим D_B(z)max=e l, e=±1,L - предельное значение взвешен­ного отклонения функции. Понятно, что в экстремальных точ­ках первые производные отклонений будут равны нулю.

Рис. 4.5 К методу наилучшего приближения функций.

На основании сказан­ного можно составить системы уравнений:

D_B=(z₁)=el D_B=(z₂)=-el D_B=(z_n+2)=(-1)^n-1el (4.8)

производные:

D’_B(z₁)=0 D’_B(z₂)=0 D’_B(z_n+2)=0 (49)

Таким образом, общее число уравнений (8) и (9) равно 2(n+2), а неизвестных: n+1-значений Р_o,P₁…Р_n); n+2 -значений Z, в которых взвешенное отклонение дости­гает предельных значений и, наконец, величина предельного отклонения L

Возможно, что на концах рассматриваемого интервала отклонение также достигает своего максимального значения. Тогда, поскольку Z₀ и Z_m заданы, число неизвестных умень­шается на 2 и, так как на концах интервала производные могут быть не равны нулю, то из (9) исключаются два урав­нения. В таком случае (8) и (9) принимают вид:

D_B(z₀)=el D_B(z₁)=-el D_B(z_n)=(-1)ⁿel D_B(z_m)=(-1)ⁿ⁺¹el (4.8¹)

В примера рассмотрим кулисный механизм (рис. 4.6). Определим l₁,l₂,l₃ и расстояние до прямой x=l, которую приближенно, но с наименьшим отклонением вос­производит точка Д, при повороте кривошипа на некоторый угол a. Обозначим через d - предельное отклонение D(z) Предельное взвешенное отклонение D_B(z) будет-L=d/A

Рис. 4.6 К методу наилучшего приближения функций*

Будем считать, что d достигает экстремальных значений и на краях заданного интервала.

Тогда будем иметь 4 точки (так полином (5) второго порядка, в которых взвешенная разность D_B дости­гает своей максимальной величины. Таким образом, получаем системы уравнений:

D_B(z₀)=P₀+P₁z₀+P₂¹/z₀+z₀²=d/A

D_B(z₁)=P₀+P₁z₁+P₂¹/z₁+z₁²= -d/A

D_B(z₂)=P₀+P₁z₂+P₂¹/z₂+z₂²=d/A

D_B(z_m)=P₀+P₁z_m+P₂¹/z_m+z_m²= -d/A (4.10)

D’_B(z₁)=P₁-P₂¹/z₁²+2z₁=0

D’_B(z₂)=P₁-P₂¹/z₂²+z₂=0

На основании (5) и (10) получим уравнения:

l₂=2z₁+z_m=z₀+2z_m

2l₃l-l₃²-l₁²+2_l³d=2z₀z₂+z₂² (4.11)

l₂(l₃²-l₁²)=z₁²z_m=z₀z₂²

В (II) шесть неизвестных: .l₁, l₂, l₃, l, z₁, z₂.

Для определения необходимо еще 2 уравнения. Так как данный механизм симметричный, то точка Д при повороте кривошипа на угол приближенно воспроизводит 2 участка прямой линии, расположенных по обе стороны от оси Х (А и В). Следователь­но, значение параметра Z₀ будет соответствовать двум край­ним положениям точки Д (Д₀ и Д₀¹), а Z_m среднему положению -Д_т, когда шатун и кривошип сливаются в одну линию.

Z_m=l₁+l₂ (4. 12)

Наконец, рассматривая треугольники СВЕ и ABE, найдем

(l₃+l₁sina/2)²=l₃² (4.13)

Решая совместно уравнения (4.12), (4.13), (4.11) отде­лим все необходимые размеры механизма, удовлетворяющие поставленному выше условию.

Рассмотренные выше приближенные методы являются наи­более универсальными: они имеют применение не только для геометрического синтеза, но и для решения множества других задач, связанных, например, с проектированием механизмов с заранее заданными динамическими и кинематическими свойствами. Известно, например, задача по приближенному син­тезу рычажных механизмов с минимальным отклонением угло­вой скорости начального звена (кривошипа) от некоторого наперед заданного постоянного значения, по проектирова­нию минимальной массы маховика, удовлетворяющей заданному коэффициенту неравномерности хода машины и ряд других.