2.5.3 Определение положения точек в пространственных кинематических цепях.

2.5.4 Уравнения преобразования координат для кинематических пар.

2.5.5 Определение положения захвата пространственного манипулятора в неподвижной системе координат.

2.5.3 Определение положений точек звеньев в пространственных кинематических цепях.

Рассмотрим два звена и . С каждым из них свяжем свою систему координат и

Движение звена относительно звена i можно разложить на переносное поступательное и относительное вращательное.

Переносное поступательное движение характеризуется параллель­ным переносом осей координатной системы в новое положение с осями и с координатами началав системе.

Относительное вращательное движение характеризуется поворо­том осей системы относительно , выраженное через углы Эйлера.

Рис. 2.13. Преобразование координатных систем.

2. 14 Преобразование координатных систем.

Выразим координаты произвольной точки Е в системе . В соответствии с правилами аналитической геометрии

(2.15)

Системе (2.15) при добавлении тождества адекватно матричное уравнение вида

(2.16)

или

Коэффициенты , входящие в выражение матрицы M_ji представляют собой направляющие косинусы углов, образованных осями координат системы S_i с осями системы . Выражения для приведены в справочниках по математике. Для пространственной кинематической цепи матрицы, определяющие вращение звена j относительно координатных осей X, Y, Z и перемещение вдоль них, имеют вид:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Из данных матриц можно определить матрицы конкретных кинема­тических пар. Для этого в выражения (2.17,2.18,2.19) необходимо подставить уравнения связи.

2.5.4 Уравнения преобразования координат для конкретных кинематических пар,

Рассмотрим примеры. Пусть имеется кинематическая пара 5 клас­са .Требуется определить положение некоторой точки в системе S_i. Для данной кинематической пары:

С учетом этих уравнений

Положение точки Е в системе S_i

где

Для поступательной кинематической пары 5 класса / рис. 2. 15б/

С учетом этих уравнений любая матрица (2.17), (2.18), (2.19) дает одинаковое выражение вида:

Т. е. для поступательной кинематической пары 5 класса ориентированной по любой из координатных осей первые три столбца матрицы одинаковы.

Положение точки в системе S_i:

где

2. 5. 5 Определение положения захвата пространственного манипулятора в неподвижной системе координат.

Полученные в предыдущем разделе выражения для матриц кине­матических пар позволяют определить положения точек звеньев любых пространственных кинематических цепей.

В качестве примера рассмотрим механизм манипулятора имеюще­го четыре степени свободы: возвратно-поступательное движение звена в вертикальном направлении по направляющим стойки. возвратно-вращательное движение звена 2 относительно звена I в горизонтальной плоскости и возвратно-поступательное и вращательное движение звена 3 с захватом относительно звена 2 в горизонтальном направлении.

С каждым звеном свяжем систему координат следующим образом:

по стойкой-системой так, чтобы ось Z₀ была направлена по оси поступательной пары А со звеном 1-систему так, чтобы ось Z₁ была направлена по оси вращательной пары со звеном 2 - систему так, чтобы ось -X₂ была направ­лена по оси поступательной пары С, а со звеном 3-систему оси которой параллельны осям системыS₂.

Запишем матричные преобразования координат точки E звена 3 от системы S₃ к системе S₀.

(2.20)

Рис. 2.14 Схема пространственного манипулятора имеющего четыре степени свободы

Для кинематической пары, состоящей из звеньев 2 и 3 уравнения

связи

Подставляя эти уравнения в выражение (2.18) ,а затем в (2.21) после преобразования получим

(2.21)

Для кинематической пары из звеньев 2 и 1

(2.22)

Для кинематической пары из звеньев 1 и 0

(2.23)

После подстановки выражений (2.21), (2.22), (2.23) в ( .2.20 ) и применения матриц можно определить координаты точ­ки Е захвата в неподвижной системе S₀.

Параметры - переменные и задаются устройством управления манипулятора. Все другие параметры, в том числе и геометрические размера определяются конструкцией.