2.3 Графоаналитический метод кинематического анализа - метод планов скоростей и ускорений.

2.3.1 Построение планов скоростей и их свойства.

2.3.2 Построение планов ускорений и их свойства.

2.3 Графоаналитический метод кинематического анализа - метод планов скоростей и ускорений.

Планы скоростей или ускорений называют векторные многоугольники, в которых векторы абсолютных скоростей или ускорений выходят из одной точки-полюса.

Они позволяют определить абсолютные и относительные скорости и ускорения точек, а также угловые скорости и ускорения звеньев в любом положении механизма.

Рассмотрим пример.

Пусть дан кривошипно - ползунный механизм, схема которого пока­зана на рис.2.7. Известны длины звеньев, положение механизма и постоянная угловая скорость кривошипа . Требуется определить скорости и ускорения точек А, В, С и угловые скорость и ускоре­ние шатуна и .

2.3.1 Построение планов скоростей.

Определяем скорость точки А кривошипа по формуле ,

Здесь - длина кривошипаОА в М.

Назначаем полюс плана скоростей Р_V и из него перпендику­лярно кривошипу ОА откладываем отрезок P_Va(рис2.8), представляющий собой вектор скорости точки А при масштабном коэффициенте плана скоростей. который определяется выражением

где -длина вектора в мм на плане скоростей.

Для определения скорости точки В движение шатуна разложим на переносное поступательное со скоростью точки А и относитель­ное вращательное вокруг этой точки. Такое разложение движения описывается векторным уравнением.

Рис 2. 7 Схема кривошипно - ползунного механизма

Рис 2. 8 План скоростей механизма

Рис 2. 9 План ускорений механизма

Величина	?		?
Направление

В таблицу под уравнением внесены данные о величине и нап­равлении векторов. Неизвестными здесь являются величины векторов V_BиV_BAпри известных их направлениях. Такое уравнение может быть решено графически построением плана скоростей. Из полюсаP_V проводится направление вектора , а из конца вектора скорости точки А - направление вектора . На пересечении этих прямых находится конец вектора скорости точки В (точка В плана скоростей).

Теперь можно найти скорость любой другой точки. Например, для скорости точки С можно записать два векторных уравнения:

,

Проведя из точек а и в плана скоростей прямые, перпендикулярные отрезки АВ и ВС шатуна найдем конец вектора скорости точки С, начало его лежит в полюсе Р_V.

Величины скоростей точек А, В, С в м/с определяются выражениями:

Таким образом, если у звена известны величина и направление скорости одной точки и направление скорости (траектория) другой точки, то можно определить скорость любой его точки.

Свойства планов скоростей.

1. Началом векторов абсолютных скоростей является одна точка P_V- полюс плана скоростей. Вытекает из определения.

2. Отрезки, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, при принятом масштабном коэффициенте представляют относительные скорости точек.

Из треугольника на плане скоростей имеем векторное уравнение

Подставив сюда и ,получим или .

С другой стороны

Сравнивая два последних уравнения, убеждаемся, что , что и требовалось доказать.

Зная относительную скорость каких либо двух точек звена, нетруд­но определить его угловую скорость по величине и направлению. Например, величина угловой скорости шатуна равна

Для определения направления угловой скорости показываем вектор выходящим из точки В на звене 2, которое совершает относительное вращение вокруг точки А. Он показывает, что в нашем примере направлена против часовой стрелки.

3. Одноименные фигуры на звене и плане скоростей подобны, а одноименные отрезки пропорциональны и повернуты на 90° в сторону вращения звена.

В нашем примере соответственно перпендикулярны одноименные стороны треугольников АВС на шатуне и АВС на плане скоростей, следовательно, эти треугольники подобны.

Свойство подобия одноименных фигур позволяет определять скорости любых точек звена не из уравнений, а графически построением подоб­ных фигур. Так, для определения скорости точки С можно было не сос­тавлять систему векторных уравнений, а на сторонеab плана скоростей построить авс подобный АВС на шатуне. Обвод контуров одноимен­ных фигур должен быть в одинаковом направлении. Так, если АВС на звене отводится в порядке букв по часовой стрел­ке, то и авс плана скоростей должен также читаться по часовой стрелке.

Проиллюстрируем применение свойства подобия одноименных фигур и пропорциональности одноименных отрезков на примере определения скорости точки S₂шатуна, расположенной внутри отрезка АВ. На плане скорос­тей она расположена также внутри отрезка ав и делит его в том же отношении, что и на звене, то есть

Скорость точки равна

4. Всем точкам, скорость которых равна 0, на плане скоростей отвечает одна точка-полюсP_V. Так в полюсе можно проставить все неподвижные точки (например, точку 0), а также точки звеньев, совпадаю­щие с их мгновенными центрами вращения.