3. Прямое определение параметров на основе

интегральных методов решения обратных задач

Замена исходного дифференциального уравнения его интеграль­ным аналогом по всем координатам позволяет исключить из уравне­ния производные напоров по этим координатам, так что в результи­рующих выражениях коэффициенты при искомом параметре оказы­ваются зависящими лишь от известных величин напора (или расхода

потока, если в интегральном аналоге уравнения сохраняются фикси­рованные значения первых производных по пространственным коор­динатам) . При некоторых же дополнительных упрощающих предпо­сылках о геометрии фильтрационного потока удается получить ко­нечные аналитические выражения для условия материального ба­ланса, из которых непосредственно определяются искомые парамет­ры. В качестве примера этого последнего типа можно привести опре­деление водоотдачи Д *по результатам откачки из группы скважин в закрытом пласте:

Sq/'/

*_ i = 1

С S(x> у, t)dxdy ’

(Ь) (7.5)

где S — понижение уровня;

t. — продолжительность работы i-й скважины к расчетному мо­менту t;

D — площадь пласта;

п — число скважин.

ЗАДАНИЕ. Уясните балансовый смысл равенства (7.5).

Другим примером сходного свойства является определение про­водимости методом круга Чарного [32 ]. Метод основан на том, что при стационарной фильтрации к группе скважин в неограниченном пласте интегрирование уравнения (2.22а) по некоторой области, С9г держащей скважины и ограниченной окружностью достаточно боль­шого радиуса R, приводят к формуле

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

где г- — расстояние от i-й скважины до центра круга;

Н_К — средневзвешенный напор по контуру R (определяется по карте гидроизогипс);

Н_а — напор в центре круга; желательно, чтобы выполнялось условие R > (1,5+2,0)/р

ЗАДАНИЕ. Убедитесь, что формуле (7.6) является достаточно очевидным обобщением формулы Дюпюи (3.32) на базе принципа сложения течений (см. раздел 3.3).

Для ознакомления с более универсальными интегральными ме­тодами рассмотрим пример расчета проводимости по ленте тока, построенной на карте гидроизогипс. В пределах ленты справедливо следующее выражение, обобщающее уравнение (4.1) одномерной нестационарной фильтрации:

(7.7)

где О) (/) и I— соответственно ширина ленты и ее продольная (осе­вая) координата.

На участках квазистационарного режима уравнение (7.7) после двукратного интегрирования по I дает

(7.8)

г 9*(*о) ^l] ^dl О £ "(O’

где Q_n — известный расход потока в пределах ленты;

lj и 1₂ — координаты точек, в которых известны значения на­

пора в один и тот же момент t_Q.

Смысл формулы (7.8) легко уяснить, если учесть, что выражение

ленты [l_Jt 1₂]. Сравните с формулой (5.54).

Заметим, что в данном примере мы использовали информацию лишь по двум наблюдательным скважинам, а также сведения о рас­ходе потока.

Однако, отдавая должное интегральным методам определения параметров в целом, нельзя не подчеркнуть, что на их эффектив­ность существенно влияет плотность информации по той перемен­ной, от которой зависит вычисляемый интеграл. С этой точки зрения при решении обратных задач можно усмотреть существенную разни­цу в стемени целесообразности интегрирования уравнений фильтра­ции по пространственным координатам — с одной стороны, и по времени — с другой.

В самом деле, в большинстве практических задач фильтрации приходится иметь дело с функциями, плотность информации о кото­рых во времени существенно выше, чем в пространстве. Поэтому эффективность использования методов интегрирования дифферен­циальных уравнений фильтрации по временной переменной должна быть достаточно высокой практически во всех случаях, тогда как интегрирование по пространственным координатам будет иметь смысл лишь при густой сети наблюдательных скважин.

Представляется очевидным, что для исключения производных по временной переменной целесообразно ориентироваться на неко­торые стандартные преобразования, широко используемые в различ­ных математических исследованиях и дающие хорошо разработан­ный аппарат для анализа и решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Таким преобразова­нием является, в частности, преобразование Лапласа-Карсона (см. раздел 4.2).

Применим к уравнению плановой нестационарной фильтрации с перетеканием (см. раздел 2.3)

преобразование Лапласа-Карсона. Введя изображение функции по­нижения S (см. раздел 4.2), придем к стационарному уравнению

Граничные условия для этого уравнения (в том числе иуСЛовия на скважинах в пределах области) получают из граничных условий для уравнения (7.9) путем преобразования формулы (4.44).

Уравнение (7.10) можно использовать для определения водоот­дачи и параметров площадного питания - при известном распределе­нии проводимости. В типовых расчетных условиях оно решается посредством аналитических методов и доводится до конечных рас­четных формул. Для нас основной интерес представляют сложные расчетные схемы, требующие применения ЭВМ или АВМ. Покажем, как решается уравнение (7.10) на аналоговых моделях для областей, в пределах которых упомянутые параметры считаются постоянны­ми.

(7.11)

1

* Соотношение (7.11) нетрудно получить аналогично выводу формулы (4.71) для временного сопротивления в схеме Либмана (см. раздел 4.3.2).

Для этой цели рассчитывается и набирается сетка сопротивле­ний фильтрационного поля R_m * / [Т(х, у) J (см. раздел 3.5), на которую задаются в преобразованном по Лапласу-Карсону виде гра­ничные условия. В каждый внутренний узел сетки подключается дополнительное «операторное» сопротивление R_tp. Для реализации на сетке уравнения (7.10) величина этого сопротивления должна удовлетворять соотношению где (Хф — масштаб сопротивлений. На концы операторных сопротив­лений задаются нулевые значения потенциалов, отвечающие стаци­онарному распределению напоров в момент t ^ш 0.

Далее по известным графикам изменения уровня во времени Sj(t) в отдельных расчетных узлах (совпадающих с точками распо­ложения наблюдательных скважин) заранее рассчитываются изо­бражения (см. раздел 4.2), а затем - отвечающие им потенциалы

U_t. Собственно моделирование заключается в цодборе сопротивле­ний R_fp таким образом, чтобы потенциалы в расчетных узловых точках совпадали с заданными величинами £/,-. Для контроля следует иметь в виду, что поскольку искомые параметры к_р1т_р априорно считаются постоянными в пределах рассматриваемой области, то при однородной разбивке все операторные сопротивления должны ока­заться равными (а точнее — близкими) по величине. Если удовлет­ворить данное требование не представляется возможным, то это сви­детельствует о неправомочности предпосылки о постоянстве иско­мых параметров к_р/ т_р.

По результатам моделирования оказывается, таким образом, определена функциональная связь между водоотдачей и показате­лем перетекания к_р/т_р:

(7.12)

из которой может быть найден один из этих параметров, если другой определен каким-то независимым путем.

Аналогично изложенному с помощью операционного метода мо­жет осуществляться параллельное определение емкостных парамет­ров и параметров инфильтрационного питания.

Из приведенного материала становятся очевидными основные преимущества операционного метода при решении задач фильтра­ции.

Фильтрационные параметры отыскивают исходя из стаци-

онарного уравнения вида (7.10) — вместо нестационарных, благода­ря чему расчетные операции заметно упрощаются.

Ш Граничные условия для преобразованного уравнения не зависящие от времени, оказываются существенно унифи­цированными, так что обычно не требуется менять схему интерпре­тации эксперимента применительно к изменениям во времени усло­вий на водозаборных скважинах.

|3| Функция К(х, у), в отличие от S( х, у, t), использует сразу всю информацию о понижении в данной точке и отражает предшест­вующую историю процесса понижения уровней. В то время как фун­кция S(x, у, 0 в каждый данный момент испытывает случайные флуктуации, обусловленные объективными (неизбежная случайная неоднородность поля фильтрации, не учтенная при составлении рас­четной модели) или субъективными (неточность единичного измере­ния) факторами, функция 5(х, у) как бы статистически усредняет эти флуктуации, резко снижая вызываемые ими погрешности. А поскольку в истории изменения понижений S(x, у, 0 в данной точке косвенно отражается влияние параметров всего поля фильтрации (в пределах области влияния эксперимента), то имеет место усредне­ние не только во времени, но и в пространстве. С этих позиций можно говорить о том, что операционным методом определяются приведен­ные (расчетные) параметры для данной области, которыми как раз и следует пользоваться в прогнозах фильтрации для той же области при любых монотонных режимах возмущения.

Операционный метод имеет ограничения. Они обусловлены тре­бованиями линейности исходных дифференциальных уравнений и граничных условий. Кроме того, напомним, что в изложенной моди­фикации метод предполагает стационарность исходного распределе­ния напоров (на момент t = 0). Ясно, однако, что эти ограничения не исключают возможности применения операционного метода в весь­ма широком круге реальных условий.