3. Основные дифференциальные уравнения плановой фильтрации

В разделе 2.2. мы занимались построением дифферен­циальных уравнений лишь для самого простого случая фильтрации в изолированном напорном пласте, не делая, правда, оговорок относительно структуры потока (мерно­сти движения). Более общие условия фильтрации мы ис­следуем применительно к схеме двухмерного планового потока; в частности, в данном разделе везде принимается,

д v

что в пределах водоносного пласта -г— = 0 (о правомер-

(У Z

ности этого допущения мы поговорим позднее — см. раз- дел 2.5). При этом мы будем исходить из уже изложенного случая изолированного напорного пласта, отмечая, во избежание повторов, лишь специфику вывода уравнений для других расчетных схем. Поэтому для удобства изло­жения материала запишем сначала выведенные ранее уравнения применительно к двухмерной фильтрации в пределах напорного пласта мощностью т.

1. Плановая фильтрация в изолированном напорном пласте

Используя уравнение неразрывности (2.5) для этого частного случая получим с учетом закона Дарси уравне­ние напорной фильтрации в жестком режиме:

дН\ ^х дх)

дН

д

дх

а

ду

О

+

(2.20)

У ду

а при T_X = T_V = T = const

О

дх² ду²

Здесь

(2.20а)

(2.21)

^тх=^кх^т’ Т_у=к_ут —

коэффициент водопроводимости пласта (или, короче, во- допроводимость пласта) в направлениях осей х и у (сов­падающих в общем случае с направлениями главных осей анизотропии).

В упругом режиме, аналогично (2.15), имеем:

*д Н dt

_а_

ду

(2.22)

д /_Т д Н\ дх I ^х дх}

+ ^17)="

-коэффициент упругой емкости пласта (см. раздел 1.4).

Для изотропного пласта с постоянной водопроводи- мостыо

I дН а

*dt

(2.22а)

у**

дх² ду²

где а* — коэффициент пьезопроводности (см. 2.17), который в данном случае может быть также выражен в виде

* т

fi* (2.23)

2. Плановая напорная фильтрация при наличии перетекания

Рассмотрим схему на рис. 2.7, где изображены два напорных пласта с напорами Н и Н’ соответственно. Вы­водя уравнение неразрывности для элементарного стол­бика в пределах нижнего пласта, мы должны учесть по­ступление воды не только через боковые грани столбика (как в случае изолированного пласта), но и через его верхнюю грань: здесь проходит вода, перетекающая из верхнего пласта через разделяющий относительный водО- упор. При расчетах подобных водоносных систем прини­маются следующие предположения, известные как пред­посылки перетекания (предпосылки Мятиева-Гирин- ского):

[Т1 движение в водоносных пластах является плано- вымТлинии тока параллельны напластованию);

\2 в разделяющем слое линии тока перпендикуляр­ны напластованию; физически эта предпосылка вполне объяснима: вода стремится пройти участок с большим сопротивлением (водоупорный слой) по кратчайшему пути.

С.Н.Нумеров показал, что погрешность в величине напора, обусловленная первой предпосылкой, имеет по­рядок [23]:

«0,1Я1пЯ, (2.24)

а погрешность от второй предпосылки:

4>«0,1Г, (2.24а)

к _

(здесь X = Я = (m/m_p) Я).

Следовательно, точность предпосылок перетекания зависит в первую очередь от соотношения проницаемо­стей пород водоносного и разделяющего слоев; очевидно,

//////'/ ТгГЖТТУ~7~ТТТ7 ГГ! Г7ТГГ*

Рис. 2.7. Схема к выводу уравнения неразрывности в пласте с перетеканием

эти предпосылки можно использовать при отношении k/k_p в несколько десятков и более.

Принимая теперь вторую предпосылку перетекания, т.е. считая, что длина пути фильтрации по слаоопроница- емому слою равна т_р, получаем, что градиент фильтрации здесь равен:

/ ₌^я> ~^н

^р (2.25)

замечание. Одновременно мы тем самым предполо­жили, что режим фильтрации в разделяющем слое явля­ется жестким, т.е. в этом слое мгновенно устанавливается распределение напоров в соответствии с напорами на его кровле Н’ и почве Н. Иначе говоря, мы пренебрегли упругими запасами воды в разделяющем слое.

Следовательно, через верхнюю грань столбика посту­пает дополнительное питание, равное

. Я' -Я

е„ = к_п •

^{п р} % (2.26)

— на единицу площади пласта в единицу времени

Показатель е_п входит в качестве дополнительного чле­на в уравнение неразрывности, так что вместо (2.5) полу­чаем

j^(p-m v_x) +j^(p-m v_y) -р% = 0 .

(2.27)

Соответственно преобразуются и дифференциальные уравнения фильтрации. Так, вместо результирующего уравнения (2.22а) получаем

а²я д²н w -я 1 вн

дх² ду² В² a* dt ’ (2.28)

где Б = уГТчПр/Jcp —так называемый параметр (фактор)

перетекания, имеющий размерность длины. Чем меньше величина В, тем интенсивнее, при прочих равных ус­ловиях, идет перетекание.

ЗАДАЧА. Для того, чтобы убедиться в значимости про­цессов перетекания даже при малой проницаемости раз­деляющего слоя (но при больших размерах системы), прикиньте расход перетекания из верхнего пласта (см. рис. 2.7) в нижележащий (эксплуатируемый) водоносный горизонт, если средняя величина разности напоров (Н'~ Н) в радиусе 25 км от водозабора составляет 5 м, к = 10'⁴ м/сут, т_р = 10 м. Считайте при этом, что требуемая производительность водозабора 100000 м³/сут.