3. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений

При движении жидкости через горные породы ей при­ходится затрачивать энергию (напор) на преодоление сил сопротивления. Показателем этих сил может служить по­теря напора на некотором участке потока, отнесенная к расходу жидкости через этот участок:

_ АЯ

^Ф~ Q"• (3.53)

Величина Ф называется фильтрационным сопротив­лением потока (на выделенном участке). Логика этого названия становится еще более ясной, если вспомнить электрогидродинамическую аналогию (см. раздел 1.6): аналогом для А Н является напряжениеД U, аналогом рас­хода — сила тока /, и тогда, в соответствии с уравнением

53. и законом Ома, для величины Ф аналогом является электрическое сопротивление R.

Из выведенных нами формул для одномерного движе­ния нетрудно получить выражения для соответствующих значений фильтрационных сопротивлений. Например, для напорной плоскопараллельной фильтрации, описы­ваемой фюрмулой (3.2),

_Ф=^Я'-^Я>- А.

дБ ТВ (3.54)

где В —фронт потока, т.е. фильтрационное сопротивле­ние при том же общем расходе потока, естествен­но, растет с увеличением длины пути фильтра­ции и с уменьшением проницаемости или фронта потока.

Для плоскорадиальной фильтрации из формулы

32. следует:

// - Я, 1 Я,

Ф = -^г_7Г- - = т- ~ In -2

Q_c ^{2лТ Г}С (3.54а)

Следовательно, при одинаковых перепадах напоров на границах выделенных участков расход плоскопарал­лельного потока равен расходу плоскорадиального пото­ка при условии

Отсюда возникает возможность сопоставления и вза­имной замены потоков с разной геометрией, но с равными фильтрационными сопротивлениями, по крайней мере в тех случаях, когда не принимаются во внимание емкост­ные запасы пласта или его площадное питание. Реализа­ция этой идеи особенно полезна для потоков, структура которых имеет узколокальные усложнения.

Пусть, например, фильтрация к реке (рис. 3.12) носит преимущественно плановый характер (линии тока гори­зонтальны) , и лишь вблизи реки имеется участок протя­женностью l-т (см. раздел 2.5) с заметным проявлением вертикальной составляющей скорости, т.е. линии тока искривляются, поперечное сечение потока сокращается, и вода испытывает при движении большее сопротивление, чем при плановом движении на участке длиной I. Если мы хотим учесть это обстоятельство, оставаясь в рамках пла­новой модели, то в ней необходимо изменить фильтраци­онное сопротивление пласта на участке, прилегающем к реке. Для этого, согласно формуле (3.54), можно увели­чить длину пути фильтрации L на некоторую величину A L и вести расчет по фиктивной модели пласта, в которой вместо действительного расстояния L (см. рис. 3.12) фи­гурирует расчетная величина L + AL ; при этом расход потока и напоры в пределах области х> т (см. раздел 2.5) будут определяться точно так же, как и в обычной случае плановой фильтрации. Аналогично, для потока вблизи реки с закольматированным руслом (см. рис. 2.14) вво­дится фиктивная величина A L, пропорциональная т_п/к_п, где т_п — мощность кольматационного слоя, к_п — коэф­фициент фильтрации. Так, ранее приведенное граничное условие третьего рода (2.49) после умножения на мощ­ность пласта m нетрудно представить в виде

77777/ Т7р7УутГ/7777Т777777^*

V:

pzZ±_4.

Puc. 3. 72. Схема искривления линий тока вблизи реки с несовершен­ным руслом

В общем случае величина ALрассматривается и определяется в полевых условиях как специальный параметр, характеризующий фильтрационное сопротивление подруеловых отложений.

ЗАДАЧА. Пользуясь результатами замеров уровней в зимний период (когда уровни слабо меняются) по двум наблюдательным скважинам Н₁ иН₂ и по водомерному посту в реке ТУ (все замерные точки в одном створе, перпендикулярном к реке), вывести формулу для определения сопротивления ложа реки [34 ]:

Н, -н

A L н₂~Н_х (*2 *i)

где Xj и х₂ — расстояния от контура реки до первой и второй сква­жины соответственно.

Рис. 3.13. Схема к расчету контура скважин в неограниченном пла­сте

Применим эту идею к расчету систем скважин, располо­женных по некоторому контуру. Для этого рассмотрим сна­чала задачу о прямолинейном контуре из бесконечно боль­шого числа скважин в неограниченном пласте (рис. 3.13).

Скважины, удаленные на расстояние а друг от друга, имеют одинаковые расходы Q_c. Вследствие симметрии

достаточно рассмотреть полосу АА*ВВ¹ шириной^. Будем

искать выражения для напоров по линиям АА [Н/х) ] и ВВ¹ [Н₂(*)], так как физически ясно, что, при данном х, (х) отвечает минимальному значению напора, а #₂(х) — максимальному.

Используем метод сложения течений. Согласно (3.44), при Г, =у^+(7^ Г₂ =Г₂’ =У^гР+ (20)?ит.д.

Постоянную С_и найдем из условия Я₇ (jc) = Н_£ на стенке скважины (jc =г ), считая, что0»г:

С t

с =я.

е,

И С 2Л‘Т

Тоща

дсП Ix^ind)²] ^H\i^x) ~ Н_с ⁺ 2 jtT ^ln лГ“

г.ПМ²

дсяА Л . xblty(J²\ Q. О И ⁺ 2^2 j

Л

O^rc

= tf+_^L_ln ^{1 П7Г}

^с 2Л'Т

где

через f[ обозначено произведение членов, соответствующих

разным номерам £т 1 до п. Далее имеем :

Z —Z

е—е

1 +

= shz =

пЪс²

lim zf[

и, следовательно, при п -¹■ а>

Q_c

о е~е^х

(3.57)

",(*) = "_с + 2^.г^1п S7

где х —

Л'Х О '

Аналогично получаем

Qc

(3.58)

Фиксируем некоторое х = хи покажем, что при определенных условиях разность Я₂ (x_Q) — Я₁ (х_о) мала в сравнении с характерным (максимальным) перепадом напоров Я₂(х_о) — Я_£. Если бы напор по всей линии СС' равнялся Я^ а по линии х *= x_Q — величине Я₂(х_о), то, согласно (3.2), двухсторонний притокQ' в полосе шириной О со­ставил бы

Q' - 2оТ

(3.59)

Очевидно, реальный расход Q_C<Q\ т.е. Следовательно, с учетом выражений (3.57) и (3.58)

^H2(^xo)~^Hi(^xo) ^ ^Н2(^хо) ~^Hi(^xo) _ 1 , е^хо+е ^х

-О

е^хо-е~^х

~TTiFJ-TJT "WT2^;■

(3.60)

Если х > JT, т.е. х >(7, то

<0,1%.

^яг(*о) ~^Н\ (^хо) Н₂{^хо)~Н_с

Итак, при х > (7, Я₂(х) ~Я₁ (х) ~Н (х) = const, т.е. на удалении от ряда, большем (7, линии х * x_Q - const — суть линии равных напоров, и здесь имеет место одномерная фильтрация.

Найдем теперь уровни по линии скважин:

я(0,у) =2^ 0пу + 1п(а-у) +

+ 1п((7+у) +... + In (/t<7—у) + 1п(/ш + у)] +С_И =

О уП t¹

2л: Г

+ Я_С,

lim z „-*• 00 1

= sin z

ft

Но

_<3.₆₁₎

Найдем средневзвешенный набор на линии скважин Н_ф:

0/2

/ H(0,y)dy

^Нср(9’ У) -Щ 6/2 ^нс⁺ 2ji t ^1п ЯгТ ⁺

^ГС

(3.62)

где d_c — диаметр скважины.

Здесь использовано преобразование [16 ]:

О/l _п дЛ/2 (jJt/2

/ In sin dy=~f In sin zdz~-=.f In sin zdz —

° %r/CT %r/CT

=s(-f^ln2)=-f^ln2-

Характерный вид кривой #(0, у), т.е. пьезометриче­ской кривой по линии скважин, показан на рис. 3.14. Из

рисунка видно, что на большей части интервала 0 - ^

величина #(0, у) близка к значению Н_ф. Отсюда возни­кает идея заменить ряд скважин условной сплошной го­ризонтальной дреной — узкой траншеей с постоянным напором Н_ф и равномерно распределенным по ее длине двухсторонним расходом

n-^Q‘

9—гг- (3.63)

Движение воды к такой траншее носит, очевидно, од­номерный характер, и согласно формуле (3.4) получаем

Qc. _{= t}B^xI-^hjp

2 о х ’ (3.64)

но при х >осогласно (3.57) и (3.58) Ос

Я(дс) = Я_с+1^ l¥+l“^) =Нф+ТоТ^х

г пг f *п — _£

(3.65)

и из уравнения (3.64) получаем

Н(х) - Н_с

q_Qc__T Н{х)-Н_с

q _Qc 2 2 сг

с Т пТ nd_c (3.66)

Рыс. 3.14. Разрез по линии скважин

, «1 ^а дс In —j ⁷¹ nd

х , а _л а In

Из последних формул ясно, что эквивалентность воз­действий от расчетной траншеи и от реального ряда сква­жин (при х > а), может быть достигнута двумя путями:

1 введением на контуре траншеи условной) напора Нф, превышающего напор в скважинах Н_с на величину

¹Ф

а

Я.-Я =ДЯ=А In

2пТ nd_c’

(3.67)

|~2 условным увеличением длины пути фильтрации х до значения х + Ах, где

или, что равносильно, — введением дополнительного филь­трационного сопротивления (см. формулы (3.54) и (3.66)):

ДФ =-Ц=Ы-^г.

яТ nd_c (3.69)

Физический смысл величины ДФ вполне понятен: вблизи скважин линии тока искривляются и сгущаются, так что сопротивление движению здесь оказывается боль­шим, чем вблизи траншеи. Разность сопротивлений при исходном двухмерном и расчетном одномерном движени­ях и определяется эквивалентным фильтрационным со­противлением Д Ф . Поэтому рассмотренный здесь метод сведения двухмерного движения к одномерному получил название метода эквивалентных фильтрационных сопро­тивлений [34]; впервые он был предложен Ю.П.Борисо- вым в 1951 г., а впоследствии развивался В.М.Шестако- вым и Ф.М.Бочевером.

Обратим внимание на то, что дополнительное сопро­тивление ДФ или средний напор Н_ф определяются лишь условиями в полосе 1*1 <а Значения ДФ или Н_ф не зависят от структуры потока за пределами этой полосы, и поэтому полученные выражения для Д Ф или Н_ф могут использоваться для задач с другими граничными услови­ями (если границы удалены от скважин на расстояния больше о).

ПРИМЕР. Найти решение задачи о работе ряда скважин с задан­ными напорами Я, между рекой и параллельным ей карьером (рис.

Решение:

[Т] заменяем ряд скважин фиктивной траншеей с напором Н_ф и расходом

д =

?£

2

сг

составим балансовое соотношение на линии скважин:

ще а_пид_к. — соответственно приток к ряду из реки и отток к карье-

Р ^

РУ*

н — Н, Н_(Ь-Н_К

а =т—£ п =т’_£ ^к •

⁹Р ¹ L ’ ^Як L ’

Рис. 3.15. Схема к задаче о контуре скважин между рекой и карьером

подставляя вместо Нф выражение (3.62) и решая систему уравнений, получим значение неизвестного расхода скважин Q_c Аналогично можно использовать метод эквивалентных фильт­рационных сопротивлений и для сведения несовершенных выработок к совершенным. На рис. 3.16 показана скважина, несовершенная по степени вскрытия пласта (скважина вскрывает пласт не на всю мощ­ность). Движение к такой скважине носит двухмерный характер: линии тока вблизи скважины искривляются (фильтрация здесь не плановая), и вода испытывает при движении сопротивление боль­шее, чем в случае совершенной скважины в том же пласте.

Решая эту задачу, М.Маскет рассмотрел скважину как совокуп­ность точечных стоков, распределенных на участке длиной Ъ. Интен­сивности (расходы) этих стоков подбирались таким образом, чтобы во всех точках линии АВ напор был одинаковым (он отвечает уровню воды в скважине). Используя далее отражение (см. раздел 3,3) стоков относительно непроницаемых кровли и подошвы пласта, М.Маскет получил решение в виде [6 ]

где Ь = Ыт Н(г)

- _ 2лТ[Н(г)-Н_с}Ь ]п(4гп/г_с)—Ъ]п(4гп/г)—/(1))’ (3.70)

степень вскрытия пласта; напор на расстоянии г > т;

Рис. 3.16. Схема искривления линий тока вблизи несовершенной скважины

f(b ) — функция, для которой дано графическое представле­

ние.

Из решения следует, что при г~>т фильтрация к скважине носит плановый характер. Это вполне увязывается с приведенным ранее критерием (2.50).

Разобьем поток к скважине на две зоны круговым сечением г=г * т. Расход потока во внешней зоне определим по формуле (3.32; (фильтрация плановая):

_1Я Т \Н(г) - Щг₀)\

Щг/m) ~ ’

а для внутренней зоны согласно формуле (3.70)

2Л'Т[Н(г_о) —Н_С]Ь

In (4m/r₀) — 2>ln4 — f(B)

Помня, что Q_l * Q- и исключая неизвестное значение напора Я(г₀), получим запись формулы (3.70) в виде

^Q‘ ln{r/7J+I

где

£ =

При Z» = 1 (совершенная скважина) £ - 0, и формула (3.71) переходит в формулу (3.32). Следовательно, величина £ отражает местное дополнительное сопротивление, обусловленное несовер­шенством скважины и связанным с этим отклонением от плановой модели фильтрации. Отсюда следует возможность замены несовер­шенной скважины фиктивной совершенной, имеющей расчетный радиус

г*

(3.72)

Из этого примера ясна принципиальная роль метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений: он по­зволяет учесть локальные погрешности плановой мо­дели фильтрации (см. раздел 2.5) и тем самым резко расширить диапазон ее практического применения. Та­кой подход оказывается особенно эффективным при моделировании задач в плановой постановке. (Приме­ры приложений этого метода приведены также в разде­лах 8.2 и 8.3).